基本介紹
- 中文名：不動點
- 外文名：fixed-point
- 定理：不動點定理
- 套用：牛頓切線法，遞歸數列
- 所屬類別：數學中函式術語
- 基本含義：被這個函式映射到其自身一個點
舉例,原理,數學套用,實際套用,吸引不動點,定理,
舉例
例如，定義在實數上的函式f，
f(x)=x2-3x+4，
則2是函式f的一個不動點，因為 f(2)=2。
也不是每一個函式都具有不動點。例如定義在實數上的函式f(x)=x+1就沒有不動點。因為對於任意的實數，x永遠不會等於x+1。用畫圖的話來說，不動點意味著點 (x,f(x))在直線y=x上，或者換句話說，函式f的圖像與那根直線有共點。上例 f(x)=x+1的情況是，這個函式的圖像與那根直線是一對平行線。
在函式的有限次疊代之後回到相同值的點叫做周期點；不動點是周期等於 1 的周期點。
原理
不動點原理是數學上一個重要的原理，也叫壓縮映像原理或巴拿赫（Banach）不動點定理，完整的表達：完備的度量空間上，到自身的一個壓縮映射存在唯一的不動點。用初等數學可以這么理解：連續映射f的定義域包含值域，則存在一個x使得f(x)=x。
數學套用
2 利用f(x)的不動點求函式或多項式的解析式
3 利用f(x)的不動點討論n-周期點問題
5 求解一階遞歸數列的極限
這是利用不動點開立方（牛頓切線法）的例子
開方：
公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3設A=5，開3次方
5介於1^3至2^3之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式：
第一步：X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，輸入值大於輸出值，負反饋
2-0.25=1.75，取2位數值,即1.7。
第二步：X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，輸入值小於輸出值正反饋
1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。
第三步：X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}輸入值大於輸出值，負反饋
第四步：X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.輸入值小於輸出值正反饋
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。X_4=1.7099。
當然也可以取1.1,1.2,1.3,...1.8,1.9中的任何一個。
實際套用
取一個淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒內的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來，隨機地揉成一個小球，再把小球扔進盒裡。拓撲學家已經證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什麼地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方。
通過具體找到這個點，就能說明這個問題了。
紙被揉成球以後，看它投到紙盒底部的影子。紙盒底部的影子區域肯定比紙盒底要小。那么，就取紙盒底部的在影子內的那個部分，它肯定對應於紙團裡面的某一小團部分。（因為整個底板對應於整個紙團，那么底板的一部分就肯定對應於一部分紙團）
假如去掉紙團的其他部分，那一小團部分同樣可以在紙盒底面投影，而且投影肯定比剛才的大投影小，而且在它之內。（因為它是在整個紙團之內）。那么，取這一小片投影（注意這片影子肯定是連續的不會斷開，因為紙沒有撕裂），當它再往紙團里對應的時候，肯定對應於其中更小的一團。我們再次把多餘的紙去掉。
就是說：
整個紙盒對應於紙團
紙盒【在紙團投影內的部分】對應於紙團內的一小塊
紙盒【一小塊的投影的部分】對應於剛才那一小塊內的更小一塊
紙盒【更小塊投影的部分】對應於更小塊中的更更小一塊
…………………………
不斷地去掉紙無限次，最後紙團只剩下了一個點，它的投影就對應於紙盒的一個點。
吸引不動點
函式f的吸引不動點是f的不動點x0使得，對在足夠接近x0的定義域中的任何x值而言，疊代函式序列
收斂於x0。如何接近才是“足夠接近”有時是個微妙的問題。
自然餘弦函式（自然意味著使用弧度而非角度）有精確的一個吸引不動點。在這種情況下，“足夠接近”根本不是嚴格標準 -- 為了展示這個情況，在計算器上開始於任何實數並重複按“cos”鍵。它會快速的收斂於大約 0.73908513，這就是不動點。這是餘弦函式和線 y=x 在圖上的交叉點。
不是所有不動點都是吸引的：例如，x=0是函式 f(x)=2x 的不動點，但是這個函式對非零任意值的疊代快速的發散。
吸引不動點是更廣泛的數學概念吸引子的特殊情況。
吸引不動點被稱為穩定不動點如果它也是李雅普諾夫穩定性的。
一個不動點被稱為是中立穩定不動點如果它是李雅普諾夫穩定性的但不是吸引的。二階齊次線性微分方程的中心點是中立穩定不動點的例子。
定理
在數學的不同部分有很多定理保證函式、在一定的條件下，必定有一個或者更多的不動點。這些在最基本的定性結果當中，那些普遍性套用的不動點定理是非常具有價值的洞察。
