布勞德不動點定理

布勞德不動點定理是由布勞德(Browder,F.E.)提出的帶邊界條件的集值映射不動點定理，由布勞德於1968年得到。

基本介紹

• 中文名：布勞德不動點定理
• 外文名：Browder fixed point theorem
• 適用範圍：數理科學

簡介

布勞德不動點定理是由布勞德(Browder,F.E.)提出的帶邊界條件的集值映射不動點定理。

設X是局部凸拓撲線性空間，C為X中非空緊凸集，F:C→2^X具非空閉凸值且上半連續。記δ(C)={x∈C|存在X的有限維線性子空間E，使得x屬於C∩E在E中的邊界}。若F滿足下述兩邊界條件之一，則F有不動點：

1.任取x∈δ(C)，存在y∈F(x)與u∈C及λ>0使得y=x+λ(u-x)；

2.任取x∈δ(C)，存在y∈F(x)與u∈C及λ<0使得y=x+λ(u-x)。

此定理由布勞德於1968年得到。

集值映射

集值映射亦稱多值映射，是映射概念的推廣。

設X和Y是兩個集合，記2^Y={A|A⊂Y}，稱之為Y的冪集，從X到Y的一個集值映射指的是從X到2^Y的一個單值映射F：X→2^Y，對於A⊂X，F(A)=∪{F(x)|x∈A}稱為A在F下的像，graph(F)={(x,y)∈X×Y|x∈X,y∈F(x)}稱為F的圖象，任意給定Γ⊂X×Y，則由F(x)={y∈Y|(x，y)∈Γ}(ᗄx∈X)可惟一確定集值映射F：X→2^Y，使得graph(F)=Γ，由F^-1(y)={x∈X|(x,y)∈graph(F)}(ᗄy∈Y)定義的集值映射F^-1：Y→2^X稱為F的逆映射。

不動點定理

不動點定理是關於方程的一種一般理論。數學裡到處要解方程,諸如代數方程、函式方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成ƒ(x)=x的形狀，這裡x 是某個適當的空間Χ中的點，ƒ是從Χ到Χ的一個映射或運動，把每一點x移到點ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ這個運動之下被留在原地不動的點，故稱不動點。

確定映射在某條件下存在不動點的定理稱為不動點定理。

各種不動點定理構成不動點理論的基本內容。