函式方程

函式方程是含有未知函式的方程。函式方程可以有一個解，可以無解，也可以有多個解，甚至可以有無窮多個解。

能使函式方程成立的函式叫做函式方程的解，求函式方程的解或證明函式方程無解的過程叫解函式方程。 函式方程的解法有 代換法（或換元法）、 待定係數法 、疊代法、 柯西法等。

基本介紹

• 中文名：函式方程
• 外文名：function equation
• 含義：含有未知函式的等式
• 解法：代換法（或換元法）等
• 函式的解：能使函式方程成立的函式
• 套用學科：數學

概念

定義

含有未知函式的等式叫做函式方程。如f(x+1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x+2)=f(x)等。其中f(x)是未知函式

解

能使函式方程成立的函式叫做函式方程的解。如f(x)=x－1、偶函式、奇函式、周期函式分別是上述各方程的解

解函式方程

函式方程與代數方程、微分方程不同，並沒有普遍的解法。所以這個分支也沒能發展起來。如上述的解為Gamma函式和初等函式的方程的解法完全不同。

對於二元函式方程，對其變數賦予特殊值的做法較多。

例子：解函式方程。

設。所以。

現在，設：

由於實數的平方非負，以及兩個非負數的和為零若且唯若兩個數都為零，因此對於所有x，，所以f(x)=0是唯一的解。

定理

若f(x)是單調（或連續）函式且滿足f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R)、則f(x)=xf(1)

證明：由題設不難得

f(x₁+x₂+…+x_n)=f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)

取x₁=x₂=…=x_n=x，得f(nx)=nf(x) (n∈N+)

令x=0，則f(0)=nf(0)，解得f(0)=0 --------- （1）

x=1，則f(n)=nf(1)

x=m/n，則f(m)=nf(m/n) ，解得f(m/n)= f(m)/n= mf(1)/n --------- (2)

x=－m/n ，且令y=－x>0，則f(x)+f(y)=f(x+y)=f(0)=0

∴f(x)=－f(y)=－yf(1)=xf(1) (m,n∈N+,且(m,n)=1) ---------(3)

由上述（1）（2）（3）知：對任意有理數x均有f(x)=xf(1)

另一方面，對於任意的無理數x，因f(x)連續，取以x為極限的有理數序列，則有 ：f(x)= f(xn)= xnf(1)=xf(1)

綜上所述，對於任意實數x，有

f(x)=xf(1)

解法

代換法

把函式方程中的自變數適當地以別的自變數代換（代換時應注意使函式的定義域不會發生變化），得到一個新的函式方程，然後設法求得未知函式

例1 （1）已知f(2x－1)=x2+x，那么f(x)=______________。

略解：設t=2x－1，則x= (t+1)/2，那么f(t)= [(t+1)²]/4+ (t+1)/2=(t²+4t+3)/4

故f(x)=(x²+4x+3)/4

(2) 已知f(x+1)=x+2 ，那么f(x)=____________。

略解：f(x+1)=(x+1)²－1，故f(x)=x²－1 (x≥1)

(3) 已知f(x+2)=x²+2，那么f(x)=_______________。

略解：f(x+2)=(x+2)²－2，故f(x)=x²－2 (|x|≥2)

例2 設ab≠0,a²≠b²，求af(x)+bf(-t)=cx的解

解：分別用x=-t，x=t代入已知方程，得

af(-t)+bf(t)=-ct------(1)

af(t)+bf(-t)=ct------(2)

由（1）（2）組成方程組解得 f(t)=ct/a-b

即： f(x)=cx/a-b

待定係數法

當函式方程中的未知數是多項式時，可用此法經比較係數而得

例3 已知f(x)是一次函式，且f{f[f...f(x)]}=1024x+1023。求f(x)¹⁰

解：設f(x)=ax+b (a≠0)，記f{f[f…f(x)]}=fn(x)，則

n次

f²(x)=f[f(x)]=a(ax+b)+b=a²x+b(a+1)

f³(x)=f{f[f(x)]}=a[a²x+b(a+1)]+b=a³x+b(a²+a+1)

依次類推有：f¹⁰(x)=a¹⁰x+b(a⁹+a⁸+…+a+1)=a¹⁰x+...

由題設知：

a¹⁰=1024

∴a=2，b=1 或 a=－2，b=－3

∴f(x)=2x+1 或 f(x)=－2x－3

疊代法

由函式方程找出函式值之間的關係，通過n次疊代得到函式方程的解法

例4 設f(x)定義在正整數集上，且f(1)=1,f(x+y)=f(x)+f(y)+xy。求f(x)

解：令y=1，得f(x+1)=f(x)+x+1

再依次令x=1,2,…,n－1，有

f(2)=f(1)+2

f(3)=f(2)+3

……

f(n－1)=f(n－2)+(n－1)

f(n)=f(n－1)+n

依次代入，得

f(n)=f(1)+2+3+…+(n－1)+n=

∴f(x)= n(n+1)/2

(x∈N+)

例5 ，已知f(1)= 且當n>1時有 。求f(n) (n∈N+)

解：把已知等式（遞推公式）進行整理，得

f(n－1)－f(n)=2(n+1)f(n)f(n－1)

∴ =2(n+1)

把n依次用2,3,…,n代換，得(n－1)個等式相加，得

=2[3+4+…+(n+1)]=(n－1)(n+4)

∴ f(n)= (n－1)(n+4)=n²+3n+1

∴f(n)=n²+3n+1

柯西法

在f(x)單調（或連續）的條件下，利用柯西函式方程的解求解

例6 設f(x)連續且不恆為0，求函式方程f(x+y)=f(x)f(y)的解

解：∵f(x)=f(x+y)=f(x)f(y)≥0

若存在x0∈R，使f(x0)=0。則對一切實數x，有

f(x)=f(x－x0+x0)=f(x－x0)f(x0)=0

這與f(x)不恆為0矛盾，故f(x)>0

對題設f(x+y)=f(x)f(y)兩邊取自然對數，得

㏑f(x+y)=㏑f(x)f(y)

∴㏑f(x+y)=㏑f(x)+㏑f(y)

令g(x)=㏑f(x)

∵f(x)>0且連續 ∴g(x)連續且滿足g(x+y)=g(x)+g(y)。由定理知：

g(x)=g(1)x

故 ㏑f(x)=x㏑f(1)

∴f(x)=e^x㏑f(1)=f(1)^x

令f(1)=a，則f(x)=a^x (a>0)

類似的，利用柯西函式方程的解，在連續或單調的條件下可得：

（1） 若f(xy)=f(x)+f(y) (x>0,y>0)，則f(x)=㏒ax

（2） 若f(xy)=f(x)f(y) (x>0,y>0)，則f(x)=ux(u由初值給出)

（3） 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，則f(x)=ax²+bx

（4） 若f(x+y)+f(x－y)=2f(x)，則f(x)=ax+b

例子

函式方程

的解是黎曼ζ函式。

函式方程

的解是伽瑪函式。

函式方程

的解是伽瑪函式。