柯西方程(柯西函式方程)

柯西方程

柯西函式方程一般指本詞條

柯西方程是函式方程 f(x+y)=f(x)+f(y)

此方程的解稱為加性函式

基本介紹

  • 中文名:柯西方程
  • 外文名:Cauchy's equation
  • 性質:方程
  • 特徵:此方程的解稱為加性函式
  • 公式:f(x+y)=f(x)+f(y)
定義與性質,在有理數中的證明,在實數域上證明,函式連續,函式在區間有界,函式在某點連續,函式單調,函式保號,其他解的性質,不連續解存在性,

定義與性質

柯西方程是函式方程
f(x+y)=f(x)+f(y)
此方程的解稱為加性函式,在有理數定義域上,利用初等代數我們很容易得出有一組函式滿足條件,是f(x)=cx,其中c是任意實數。定義域是實數時,同樣有一族函式滿足條件,但有些是極其複雜的,所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx,以下條件可得f(x)是正比例函式
◎f是連續函式(在1821年已被柯西證明),後來在1875年被達布將條件減弱為f在某點連續。
◎存在a,b∈R,(a<b),函式在(a,b)有界
◎f單調,或f在某開區間單調。
◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0
另外,如果沒有其他條件的話,(假如承認選擇公理成立),那么有無窮非f(x)=cx的函式滿足該條件,這是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念證明的。
希爾伯特第五問題是該方程的推廣
存在實數c使得f(cx)≠cf(x)解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希爾伯特第三問題中,從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變數(Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。

在有理數中的證明

y=0,那么有f(x+0)=f(x)+f(0),即f(0)=0
y=-x,那么由f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)
利用數學歸納法,可知f(nx)=nf(x)
將x用x/n代替,那么有
f(nx/n)=nf(x/n)=f(x)
任意有理數m/n,有
f((m/n)x)=mf(x)/n
以上合起來,就是任意q∈Q,α≠0有
f(αq)=qf(α),取α=1,可得f(q)=qf(1),得證。

在實數域上證明

函式連續

由於函式連續,且有理數稠密,不難說明f(x)=xf(1)在x為任意實數上成立(利用有理數逼近)。

函式在區間有界

定義函式g(x)=f(x)-f(1)x,顯然g是實值函式。
由於g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)
所以g(x)也是滿足柯西函式方程的函式
因此任意q∈Q,我們有g(qx)=qg(x)
由於f在(a,b)上有界,那么設界為M,即任意x∈(a,b),有|f(x)|≤M
那么由於|x|≤max(|a|,|b|),有任意x∈(a,b),
|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界
由於任意x不在(a,b),有有理數q,使得x-q∈(a,b),
即|g(x)|=|g(x-q)+g(q)|=|g(x-q)|同樣有界,即g(x)在R上有界
而若有x∈R,使得g(x)不為0,那么必存在n,使得|g(nx)|=n|g(x)|趨向無窮大,矛盾。
因此g(x)=0恆成立,即f(x)=f(1)x

函式在某點連續

根據連續的定義可知,任意δ,存在ε,使得x∈(x0-δ,x0+δ),|f(x)-f(x0)|<ε,即f(x)在區間有界,化為上面的條件。

函式單調

在某區間(a,b)單調,那么任意x∈(a,b),
f(q1)<f(x)<f(q2),
其中q1<x,q2>x,將q1,q2逼近x,不難說明f(x)=xf(1)
而任意x∈R,存在q,使得x=qr,r∈(a,b),q∈Q,
同理可知成立。

函式保號

保號是指:存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0。
根據對稱性我們只需證明"存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0"的情況。
任意y>x,存在n,使得e=(y-x)/n∈[0,ε1],那么利用
f(y)-f(x)=f(y)-f(y-e)+f(y-e)-f(y-2e)+...+f(x+e)-f(x)=nf(e)>0,即可得f(x)單調,化為上麵條件。

其他解的性質

以下的證明將顯示“其他的解”(若存在)是相當病態(pathological)的函式。我們將證明這個函式f所對應的圖y=f(x)在R^2中稠密,亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點,我們將從這個定義著手證明。
詳情見右圖
其他解其他解

不連續解存在性

要構造出反例,必須承認 選擇公理或 Zorn引理,從而當我們把 看成是 上的線性空間時,它允許我們選出無窮多個元素作為基底,使得每個實數都能寫成 以有理數為係數 的有限個基底的線性組合,稱為哈默基(Hamel Basis)。
詳情見右圖
不連續解構造不連續解構造

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