加性函式方程

加性函式方程(additive functional equation)是一類最簡單的函式方程，所謂加性函式方程，是指形如f(x+y)=f(x)+f(y)的方程。

基本介紹

• 中文名：加性函式方程
• 外文名：additive functional equation
• 所屬學科：數學
• 形式：形如f(x+y)=f(x)+f(y)的方程
• 相關概念：一般加法定理

基本介紹

形如

的加性函式方程，柯西(A.-L.Cauchy)證明了方程(1)的連續解只有(是常數)，即使只要求在某點連續，在該點鄰域有界或可測，也只有解。但在非可測函式類中，哈默爾(G.K.W.Hamel)和勒貝格(H.L.Lebesgue)證明了除外還有無窮多個解。另一方面，奧斯特羅格拉茨基(М.В.Остроградский)證明了，如果方程(1)的解在一個正測度集合上不取兩個相異值之間的值，則必是連續的。以上結論可以推廣到n個變數的情形。方程(1)的變形方程是

如果存在使得，則恆為零。因此假定，取即可看出，令，則方程(2)可化為方程(1)。因此，方程(2)的連續解只有。再考慮方程

如果存在使得，則，因此，假定時。對於，令，於是方程(3)就化為方程(2)，又在方程(3)中取得到，所以，於是方程(3)的連續解是或。

一般加法定理

一般加法定理(general addition theorem)是刻畫一種特殊方程存在連續的非零解特徵的一個定理，一般加法定理如下：如果方程

在中存在連續的非常數解，那么必是嚴格單調函式，而是關於的嚴格單調遞增連續函式，且，還存在一個，使得，而且關於中的任意的，成立恆等式

反之，如果是具有這些性質的函式，則(4)式存在在上連續的非常數解，而且若是這樣的一個解，則就給出了其他的解，如果還是連續可微的，則就是微分方程

在初始條件f(0)=a下所得到的解。