基本介紹
定義,分類,非線性代數方程,非線性微分方程,常微分方程,偏微分方程,單擺,發展史,十一世紀前,十一世紀,十三世紀,十四世紀,十五世紀,十六世紀,十七世紀,十八世紀,求解,
定義
疊加性：
；
齊次：
。
在α是有理數的情況下，一個可疊加函式必定是齊次函式（在討論線性與否時，齊次函式專指一次齊次函式）；若
是連續函式，則只要α是任意實數，就可以從疊加性推出齊次。然而在推廣至任意複數α時，疊加性便再也無法導出齊次了。也就是說，在複數的世界裡存在一種反線性映射，它滿足疊加性，但卻非齊次。疊加性和齊次這兩個條件常會被合併在一起，稱之為疊加原理：
對於一個表示為
的方程，如果
是一個線性映射，則稱為線性方程，反之則稱為非線性方程。另外，如果
，則稱此方程齊次（齊次在函式和方程上的定義不同，齊次方程指方程內沒有和x無關的項C，即任何項皆和x有關）。
這裡
的定義是很一般性的，
可為任何數字、向量、函式等，而
可以指任意映射，例如有條件限制（給定初始值或邊界值）的微分或積分運算。如果
內含有對
的微分運算，此方程即是一個微分方程。
分類
這些方程可分為兩類，一種是多項式方程，一種是非多項式方程。
非線性代數方程
主條目：代數方程
主條目：多項式
代數方程又稱為多項式方程。令某多項式等於零可得一個多項式方程，例如：
利用勘根法可以找出某個代數方程的解；但若是代數方程組則較為複雜，有時候甚至很難確定一個代數方程組是否具有複數解（見希爾伯特零點定理）。即使如此，對於一些具有有限個複數解的多項式方程組而言，我們已經找到解的方法，並且也已充分了解這種系統的行為。代數方程組的研究是代數幾何里重要的一環，而代數幾何正是現代數學裡的其中一個分枝。
非線性微分方程
若描述一個系統的微分方程是非線性的，則稱此系統為非線性系統。含有非線性微分方程的問題，系統彼此間的表現差異極大，而每個問題的解法或是分析方法也都不一樣。非線性微分方程的例子如流體力學的納維-斯托克斯方程，以及生物學的洛特卡－沃爾泰拉方程。
解非線性問題最大的難處在於找出未知的解：一般來說，我們無法用已知的解來拼湊出其他滿足微分方程的未知解；而線上性的系統里，卻可以利用一組線性獨立的解，透過疊加原理組合出此系統的通解。例如滿足狄利克雷邊界條件的一維熱傳導問題，其解（時間的函式）可以寫成許多不同頻率之正弦函式的線性組合，而這也讓它的解很彈性、具有很大的變化空間。通常我們可以找到非線性微分方程的特解，但由於此時疊加原理並不適用，故無法利用這些特解來建構出其他新的解。
常微分方程
一階常微分方程常常可以利用分離變數法來解，特別是自守方程
例如
這個方程式的通解為
，特解為u= 0（即通解在C趨近於無限大時的極限）。此方程是非線性的，因為它可以被改寫為
而等號左邊並不是u的線性映射。若把此式的u換成u，則會變成線性方程（指數衰減）。
分析常微分方程常用的方法包括：
偏微分方程
參見：非線性偏微分方程列表
研究非線性偏微分方程最常見也最基礎的方法就是變數變換，變換以後的方程會較簡單，甚至有可能會變成線性方程。有時候，變數變換後的方程可能會變成一個或兩個以上的常微分方程（如同用分離變數法解偏微分方程），不管這些常微分方程可不可解，都能幫助我們了解這個系統的行為。
另一個流體力學和熱力學裡常用的方法（但數學性較低），是利用尺度分析來簡化一個較一般性的方程，使它僅適用在某個特定的邊界條件上。例如，在描述一個圓管內一維層流的暫態時，我們可以把非線性的納維-斯托克斯方程簡化成一個線性偏微分方程；這時候尺度分析提供了兩個特定的邊界條件：一維和層流。
其他分析非線性偏微分方程的方法還有特徵線法，以及上述分析常微分方程時常用的方法。
單擺
主條目：單擺
單擺（v 表示速度向量；a 表示加速度向量）
上述的解是隱解的形式，同時也包含了橢圓積分。這個解通常沒有什麼用，因為非初等函式積分（即使
仍然是非初等函式）把解的各種特性隱藏了起來，使我們不易看出單擺系統的行為。
另一個解法是把這個非線性方程作線性近似：利用泰勒展開式將非線性的 sine 函式線性化，並在某些特定的點附近討論解的情形。例如，若在
的點附近作線性近似（又稱小角度近似），
時，
，故原方程可以改寫為
近似後的方程變成了簡諧振盪，因此當單擺運動到底部附近時，可以對應到一個簡諧振子。而若在
（即當單擺運動到圓弧的最高點時）附近作線性近似，
，故原方程可以改寫為
這個方程的解含有雙曲正弦函式，因此和小角度近似不同，這個近似是不穩定的，也就是說
會無限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。當我們把解對應回單擺系統後，就可以了解為什麼單擺在圓弧的最高點時不能達到穩定平衡，也就是說，單擺在最高點時是不穩定的狀態。
另一個有趣的線性近似是在
附近，此時
，故原方程可以改寫為
這個近似後的方程可以對應到自由落體。
若把以上線性近似的結果合在一起看，就能大致了解單擺的運動情形。利用其他解非線性微分方程的方法，可以進一步幫助我們找到更精確的相圖，或是估算單擺的周期。
發展史
十一世紀前
十一世紀
十一世紀，阿拉伯的阿爾·卡爾希第一次解出了二次方程的根。
十一世紀，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系統研究三次方程的書《代數學》。
非線性方程書籍十三世紀
十三世紀，印度的拜斯迦羅著《立刺瓦提》一書，這是東方算術和計算方面的重要著作。
1202年，義大利的裴波那契發表《計算之書》，把印度—阿拉伯記數法介紹到西方。
1220年，義大利的裴波那契發表《幾何學實習》一書，介紹了許多阿拉伯資料中沒有的示例。
1247年，中國宋朝的秦九韶著《數書九章》共十八卷，推廣了“增乘開方法”。書中提出的聯立一次同餘式的解法，比西方早五百七十餘年。
1248年，中國宋朝的李治著《測圓海鏡》十二卷，這是第一部系統論述“天元術”的著作。
1261年，中國宋朝的楊輝著《詳解九章算法》，用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和。
1274年，中國宋朝的楊輝發表《乘除通變本末》，敘述“九歸”捷法，介紹了籌算乘除的各種運算法。
1280年，元朝《授時曆》用招差法編制日月的方位表(中國 王恂、郭守敬等)。
十四世紀中葉前，中國開始套用珠算盤。
十四世紀
十五世紀
1464年，德國的約·米勒在《論各種三角形》(1533年出版)中，系統地總結了三角學。
十六世紀
1545年，義大利的卡爾達諾、費爾諾在《大法》中發表了求三次方程一般代數解的公式。
1550～1572年，義大利的邦別利出版《代數學》，其中引入了虛數，完全解決了三次方程的代數解問題。
十七世紀
1614年，英國的耐普爾制定了對數。
1637年，法國的笛卡爾出版《幾何學》，提出了解析幾何，把變數引進數學，成為“數學中的轉折點”。
1638年，法國的費爾瑪開始用微分法求極大、極小問題。
1638年，義大利的伽里略發表《關於兩種新科學的數學證明的論說》，研究距離、速度和加速度之間的關係，提出了無窮集合的概念，這本書被認為是伽里略重要的科學成就。
1639年，法國的迪沙格發表了《企圖研究圓錐和平面的相交所發生的事的草案》，這是近世射影幾何學的早期工作。
1641年，法國的帕斯卡發現關於圓錐內接六邊形的“帕斯卡定理”。
1649年，法國的帕斯卡製成帕斯卡計算器，它是近代計算機的先驅。
1654年，法國的帕斯卡、費爾瑪研究了機率論的基礎。
1657年，荷蘭的惠更斯發表了關於機率論的早期論文《論機會遊戲的演算》。
1658年，法國的帕斯卡出版《擺線通論》，對“擺線”進行了充分的研究。
1665～1676年，牛頓(1665～1666年)先於萊布尼茨(1673～1676年)制定了微積分，萊布尼茨(1684～1686年)早於牛頓(1704～1736年)發表了微積分。
1669年，英國的牛頓、雷夫遜發明解非線性方程的牛頓—雷夫遜方法。
1670年，法國的費爾瑪提出“費爾瑪大定理”。
1673年，荷蘭的惠更斯發表了《擺動的時鐘》，其中研究了平面曲線的漸屈線和漸伸線。
1684年，德國的萊布尼茨發表了關於微分法的著作《關於極大極小以及切線的新方法》。
1686年，德國的萊布尼茨發表了關於積分法的著作。
1691年，瑞士的約·貝努利出版《微分學初步》，這促進了微積分在物理學和力學上的套用及研究。
1696年，法國的洛比達發明求不定式極限的“洛比達法則”。
十八世紀
1704年，英國的牛頓發表《三次曲線枚舉》《利用無窮級數求曲線的面積和長度》《流數法》。
1711年，英國的牛頓發表《使用級數、流數等等的分析》。
1713年，瑞士的雅·貝努利出版了機率論的第一本著作《猜度術》。
1715年，英國的布·泰勒發表《增量方法及其他》。
1731年，法國的克雷洛出版《關於雙重曲率的曲線的研究》，這是研究空間解析幾何和微分幾何的最初嘗試。
1733年，英國的德·勒哈佛爾發現正態機率曲線。
1736年，英國的牛頓發表《流數法和無窮級數》。
1736年，瑞士的歐拉出版《力學、或解析地敘述運動的理論》，這是用分析方法發展牛頓的質點動力學的第一本著作。
1742年，英國的麥克勞林引進了函式的冪級數展開法。
1744年，瑞士的歐拉導出了變分法的歐拉方程，發現某些極小曲面。
1748年，瑞士的歐拉出版了系統研究分析數學的《無窮分析概要》，這是歐拉的主要著作之一。
1755～1774年，瑞士的歐拉出版了《微分學》和《積分學》三卷。書中包括微分方程論和一些特殊的函式。
1760～1761年，法國的拉格朗日系統地研究了變分法及其在力學上的套用。
1767年，法國的拉格朗日發現分離代數方程實根的方法和求其近似值的方法。
1770～1771年，法國的拉格朗日把置換群用於代數方程式求解，這是群論的開始。
1772年，法國的拉格朗日給出三體問題最初的特解。
1794年，法國的勒讓德出版流傳很廣的初等幾何學課本《幾何學概要》。
1794年，德國的高斯從研究測量誤差，提出最小二乘法，於1809年發表。
1799年，法國的蒙日創立畫法幾何學，在工程技術中套用頗多。
1799年，德國的高斯證明了代數學的一個基本定理：實係數代數方程必有根。
求解
至於如何求解第二類非多項式方程，是數學領域中的一個重點研究方向。一般來說，求解此類方程是採用隨機搜尋的辦法。
