雙曲正弦函式

雙曲正弦函式是雙曲函式的一種。雙曲正弦函式在數學語言上一般記作sinh，也可簡寫成sh。與三角函式一樣，雙曲函式也分為雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切、雙曲餘切、雙曲正割、雙曲餘割6種，雙曲正弦函式和雙曲餘弦函式是雙曲函式中最基本的兩種，由這兩個函式可推導出雙曲正切函式等等。

雙曲正弦函式的定義式為：

sinh=[e^x-e^(-x)]/2

基本介紹

• 中文名：雙曲正弦函式
• 外文名：Hyperbolic sine function
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：數學、工程計算問題
• 數學表示：sinh
• 基本概念：雙曲函式中的一種

簡介

套用上常遇到以e為底的指數函式和所產生的雙曲函式以及它們的反函式——反雙曲函式，而雙曲正弦函式是雙曲函式的一種，它的定義式為。

用WPS表格製作的雙曲正弦函式的圖像

當x的絕對值很大時，雙曲正弦函式的圖形在第一象限內接近於曲線，在第三象限內接近於曲線。當x=0時，sinhx=sinh0=0。

定義域和值域

雙曲正弦函式的定義域為，值域也為。

奇偶性

雙曲正弦函式是奇函式，它的圖形通過原點且關於原點對稱。

證明如下：

而

根據奇函式的定義，可得出上述結論。

單調性

雙曲正弦函式在區間內它是單調增加的。證明如下：

查雙曲函式的導數公式，得到：

而雙曲餘弦函式的值域是。無論取何值，的值永遠大於0。可見，雙曲正弦函式在內永遠是單調遞增的。

周期性

無論是雙曲正弦函式y=sinhx，還是雙曲正切函式y=tanhx、雙曲餘弦函式y=coshx，它們都不是周期函式。

凹凸性

雙曲正弦函式在是凸函式，在是凹函式

證明：根據函式凹凸性的判定定理：設f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內具有一階和二階導數，那么：

（1）若在（a,b）內，，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的

（2）若在（a,b）內，，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的

根據雙曲函式的導數公式，求得雙曲正弦函式的二階導數為：

可見，雙曲正弦函式的二階導數仍然是雙曲正弦函式（它本身），而根據雙曲正弦函式的單調性，且sinh0=0。可知當x>0時，sinhx的二階導數大於0。x<0時，sinhx的二階導數小於0，則可得出上述結論。

導數

雙曲正弦函式的導數是雙曲餘弦函式，即。

不定積分

雙曲正弦函式的積分是這樣的：

其中，大寫的C為任意常數。我們不難發現，除去任意常數C,雙曲正弦函式的積分也是雙曲餘弦函式。

其中，大寫的C為任意常數。

泰勒展開式

雙曲正弦函式的泰勒展開式為：

即：

反函式

雙曲正弦函式的反函式是反雙曲正弦函式，數學表示上記作arsinh。它的定義式為：

雙曲正弦的反函式——反雙曲正弦函式的圖像

函式y=arsinhx的定義域為，它是奇函式，在區間內單調增加。