懸鏈線 (Catenary)指的是一種曲線，指兩端固定的一條(粗細與質量分布)均勻、柔軟(不能伸長)的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀，例如懸索橋等，因其與兩端固定的繩子在均勻引力作用下下垂相似而得名。適當選擇坐標系後，懸鏈線的方程是一個雙曲餘弦函式，其標準方程為：y=a cosh(x/a)，其中，a為曲線頂點到橫坐標軸的距離。
基本介紹
- 中文名：懸鏈線
- 外文名：Catenary
- 學科：數學
- 方程：y=a cosh(x/a)
- 屬性：曲線
- 示例：懸索橋，等
歷史發展,等高懸鏈線,工程中的套用,相關公式,
歷史發展
問題的起源
達·文西不僅是義大利的著名畫家，他畫的《蒙娜麗莎》帶給了世界永恆的微笑，而且他還是數學家、物理學家和機械工程師，他學識淵博，多才多藝，幾乎在每個領域都有他的貢獻，他還是數學上第一個使用加、減符號的人，他甚至認為：“在科學上，凡是用不上數學的地方，凡是與數學沒有交融的地方，都是不可靠的”。他本人在創作《蒙娜麗莎》時，認真地研究了主人公的心理，做了各種精確的數學計算，來確定人物的比例結構，以及半身人像與背景間關係的構圖問題。當我們欣賞著他的《抱銀貂的女人》中脖頸上懸掛的黑色珍珠項鍊時，我們注意的是項鍊與女人相互映襯的美與光澤，而不會像達·文西那樣去苦苦思索這樣一個問題：固定項鍊的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鍊所形成的曲線是什麼？
這就是著名的懸鏈線問題，達文西還沒有找到答案就去世了。
發展
從外表上看，懸鏈線真的很像拋物線。荷蘭物理學家惠更斯用物理方法證明了這條曲線不是拋物線，但到底是什麼，他一時也求不出來。直到幾十年後，雅各布·伯努利再次提出這個問題。
解決問題
與達文西的時代時隔170年，久負盛名的雅各布·伯努利在一篇論文中提出了確定懸鏈線性質（即方程）的問題。實際上，該問題存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推測過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸而未決。雅各布覺得，套用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。
但遺憾的是，面對這個苦惱的難題，他沒有絲毫進展。一年後，雅各布的努力還是沒有結果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰·伯努利發表了這個問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎不可能算是一個謙和的勝利者，因為他後來回憶說：
我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運得很，因為我發現了全面解開這道難題的技巧（我這樣說並非自誇，我為什麼要隱瞞真相呢？）……沒錯，為研究這道題，我整整一晚沒有休息……不過第二天早晨，我就滿懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無進展。他像伽利略一樣，始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對他說，不要再折磨自己去證明懸鏈線是拋物線了，因為這是完全錯誤的。
可笑的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了“整整一晚”的休息時間，而雅各布卻已經與這道題持續搏鬥了整整一年，這實在是一種“奇恥大辱”。
等高懸鏈線
標準方程
其中，a為常數，是曲線頂點到橫坐標軸的距離。
表達式的證明
如右圖，設最低點A處受水平向左的拉力H，右懸掛點處表示為C點，在AC弧線區段任意取一段設為B點，則B受一個斜向上的拉力T，設T和水平方向夾角為θ，AB段繩子的質量為m,顯然B點受力平衡，進行受力分析有：
m=σs ，其中s是右段AB繩子的長度，σ是繩子線密度，即單位長度繩子的質量。代入得微分方程
（式1）；再利用勾股定理
得到式（2）：
將（2）式代入（1）式得式（3）：
不妨做一次變數替換，令：
，得到如下方程：
為了將積分符號去掉，對上式兩邊對x求導：
接下來變數分離並兩端進行積分：
由於
，所以上面的積分的解為（式4）：
（注意，指數-1表示的是反函式，而不是倒數。）
反雙曲正弦的部分圖像
反雙曲正弦的部分圖像下面確定C的值。顯然，當x=0時，y'=0，即p=0，所以將該初值條件代入我們得到的解，因為
，解得C=0。下面給出反雙曲正弦的圖像以加強直觀認識。
然後利用反函式的性質，在（4）式的兩邊取雙曲正弦：
對上式變數分析並積分：
於是得到最終的解：
上式中的C一般保留，它會隨著坐標系選擇的不同而取不同的值。
懸流體方程
（1）微分方程為
，方程解為：
以下是不同a的曲線族。方程原理同懸鏈線一樣。不同的是其表面張力分量必須等於懸掛部分的重力。
垂直方向的流體必須考慮懸流體部分，此部分不是自由流動的流體，其完全受表面張力作用。
如果張力僅僅能夠維持自身旋轉體重量時，摩擦阻力不考慮。
（2）垂直管道中，或者空氣柱內，摩擦阻力與y正比，反重力方向，則微分方程為：
此類如同自然水管龍頭的低速流體，但是它需要一個水平方向的張力作用，大小等於ky，第一類與二類均需要。
（2）水平轉換張力球，水龍頭如果開到很小，會發現，在最底端，水是以一個一個的小球發出，而這個小球就是張力球，水按照一定頻率從懸流體中流出，而不是連續的流體，與量子力學基本相通，微分方程如下：
懸膜殼或者懸流體膜
微分方程為： 
利用積分程式繪圖如下：
工程中的套用
還有以下幾個公式，可能也有用：
其中L是曲線中某點到0點的鏈索長度，α是該點的正切角，F0是0點處的水平張力，γ是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。
相關公式
雙曲正弦的導數：
雙曲餘弦的導數：
；
反雙曲正弦的導數：
反雙曲餘弦的導數：
