基本介紹
- 中文名：雙曲餘弦函式
- 外文名：hyperbolic cosine
- 領域：數學
- 字母簡寫：cosh
- 性質：6種
- 套用：高等數學
- 範疇：雙曲函式
函式定義,函式性質,定義域與值域,奇偶性,單調性,周期性,凹凸性,套用領域,導數,不定積分,泰勒展開式,反函式,函式圖像,相關公式,
函式定義
從原點發出的射線與單位雙曲線（方程：
）相交於點（cosh a,sinh a)。這裡的a為射線、雙曲線和x軸圍成的面積的兩倍。對於雙曲線上位於x軸下方的點，這個面積被認為是負值。其中，cosh a就是a的雙曲餘弦函式。
雙曲函式的定義示意圖
經過複雜的計算可以推出： 
。
函式性質
定義域與值域
雙曲餘弦函式和雙曲正弦函式的圖像
雙曲餘弦函式的定義域為
。值域為[1,
)。當x=0時，取到最小值1。
奇偶性
雙曲餘弦函式在定義域內是偶函式。可以證明。
取x的負值。又得：
圖示
根據加法交換律，可得出
。根據偶函式的定義，可知該函式是偶函式。它關於y軸對稱。
單調性
雙曲餘弦函式y=cosh x，在區間
內它是單調減少的，在區間
內它是單調增加的。cosh 0=1是該函式的最小值。
可以用導數證明。
圖示
由於分母是永遠大於0的，而分子中
也是永遠大於0。只有
在x=0時是等於0。在x<0時。 <0。在x>0時。 >0。得出當x<0時，雙曲餘弦函式的導數永遠小於0。當x>0時，雙曲餘弦函式的導數永遠大於0。那么它在 內單調遞減的，在 內單調遞增。在x=0時，最小值為1。無最大值。
周期性
無論是雙曲餘弦函式y=cosh x，還是雙曲正弦函式y=sinh x、雙曲正切函式y=tanh x，它們都不是周期函式。
凹凸性
由於
那么雙曲餘弦函式的二階導數為
可見雙曲餘弦函式的二階導數是它本身。而雙曲餘弦函式的值域是[1, )。那么雙曲餘弦函式的二階導數在實數集R上恆大於0。
而根據函式凹凸性的判定方法（定理）：
雙曲餘弦函式圖像
設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內具有一階導數和二階導數，那么：
（1）若在（a,b）內，
，則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。
（2）若在（a,b）內，
，則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。
根據上面的函式凹凸性判斷定理。得出那么無論是在那個單調區間，雙曲餘弦函式都是凹函式
套用領域
導數
雙曲餘弦函式的導數是雙曲正弦函式。即
也可以轉化為
不定積分
另有公式
(這裡，大寫的C為常數）
另外，關於雙曲餘弦函式還有如下的公式：
泰勒展開式
雙曲餘弦函式的泰勒展開式為：
反函式
雙曲餘弦函式的反函式是反雙曲餘弦函式。它記作arcoshx。根據反函式的定義，它的定義原本應該是：
其中，x滿足條件：
。
反雙曲餘弦函式圖像
反雙曲餘弦函式的圖像原本有x軸上方的一支和x軸下方的一支。即且這兩支關於x軸對稱。但是，這樣子會造成一個自變數x對應兩個函式值，不符合函式的定義。
為了符合函式的定義，一般取x軸上方的那一支。因而得到了反雙曲餘弦函式的定義式。
雙曲餘弦的反函式，即反雙曲餘弦函式y=arcoshx的定義域為[
),它在區間[ )上是單調增加的。
函式圖像
懸鏈線的數學表達式為
。其中，a為常數。當a=1時，所得的函式（圖像）正好是雙曲餘弦函式（圖像）。
相關公式
兩角和和兩角差的公式
sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy
sinh(x-y)=sinhxcoshy-coshxsinhy
cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy
cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy
二倍角公式
雙曲餘弦和雙曲正弦的二倍角公式。
三倍角公式
推導：
1、雙曲正弦的三倍角公式：
2、雙曲餘弦的三倍角公式：
半角公式
雙曲餘弦以及雙曲正弦的半角公式有：
恆等式
等式1：
等式1的證明：
等式2：
（雙曲正切的定義式，與三角函式中的正切類似）
等式3：
（雙曲函式和指數函式的關係）
等式4：
（雙曲函式和指數函式的關係）
