微積分（Calculus）是高等數學中研究函式的微分、積分以及有關概念和套用的數學分支。微積分拾階的計算主要依靠函式來進行，在微積分的拾階運算中，主要運用到冪函式、指數函式、對數函式、三角函式、反三角函式進行函式的運算。
基本介紹
- 中文名：微積分
- 外文名：Calculus
- 分支：數學分支
- 學科：數學
函式簡介,函式變數,函式的性質,函式的反函式,函式的分類,函式的運算,答疑解難,
函式簡介
函式變數
在函式的概念之前，首先人們從對事物的變化發展的觀察中，抽象出來變數的概念，在數學的歷史上，正是變數的出現導致代數學的發展。因為在沒有變數概念的時候，人們進行算術運算，只會做到對具體的數值進行運算。每次遇到稍微不同一些的數值，都必須很費勁地重新考慮計算方法，只有在抽象出來變數的概念後，才能對一般的數值計算抽象出來一般的計算方法，從而徹底地解決數值地計算問題。而代數學正是為了發展一般的數值計算方法而發展起來的。因此可以說變數概念的出現是數學發展歷史上的第一個里程碑。
自然界裡的觀察量都可以看成是變數，然後我們從自然界裡歸納出的自然規律常常表現為變數與變數之間的依賴關係。而函式實際上就是為了表述這些變數與變數之間的依賴關係而抽象出來的數學觀念。
函式從一般的依賴關係中抽象出三個要素作為函式的基本要素。首先就是依賴關係本身，也即一個或幾個變數（自變數）是如何決定另一個變數（因變數）的，這種決定關係還必須是唯一的，因為我們研究的這種依賴關係總是一種具有確定性的關係。也就是說，從一些自變數的數值，能夠唯一地得到另一個因變數的數值。這是函式概念里的一個關鍵所在。也是初學者常常犯錯誤的地方。
要表示一種依賴關係，可以有很多的方式。
最直截了當的就是一一列出變數之間的所對應的數值。例如我們常用的數學用表，列車時刻表，稅單，等第，這種表示方法的好處就是一目了然，能讓你很快的查到你所需要的變數的值，甚至是精確的值，而無須進行另外的計算，缺點就是只能處理很有限的數值，對於可以取大量，甚至無窮的數值的變數，這種方法就不行了。另外還不能容易地讓人理解變數之間地對應規律。
要想能容易地讓人理解變數之間的對應規律，可以使用圖示的方式。
對於一元函式y=f（x），它的變數相應地在平面上的直角坐標系的X軸和Y軸上取值，在一定條件下，就能得一個幾何圖象，表達了函式的數值分布。用圖來表示變數之間的依賴關係，可以很直觀地說明這種依賴關係的很多性質。在高等數學的學習中，我們也應該善於通過畫圖來培養對於抽象概念的直觀能力，而初學者往往忽略這點，甚至不屑於此，這是我們應該極力避免的。圖示的缺點就是不能精確地給出數值，也不能精確地表達函式的性質。
最精確的表達方式是給出函式關係的解析表達式。有了解析表達式，就可以對已知數值進行確定的數學計算，從而得到未知量的精確數值。更進一步，通過對解析表達式的數學分析，可以得到函式性質的精確的表達。而我們學習微積分的主要目的，就是掌握這種分析方法。
當然還可以有其他的表示函式的依賴關係的方法，總之只要能說明一個變數如何由另外的變數唯一決定就行。
表示了依賴關係之後，還必須說明其中自變數的取值範圍。因為在實際問題中，有時候並不能從依賴關係本身就得到自變數的取值範圍。因此還必須單獨規定。這個取值範圍被稱為定義域。
有了自變數的取值範圍，加上函式的對應關係，就可以得到因變數的取值範圍，這就是函式的第三個要素，被稱為值域。
總結一下，函式概念最關鍵的地方，就是它的對應關係，或者說依賴關係，必須是因變數由自變數唯一確定。儘管我們可以考慮一對多的多值函式，比方說解析幾何里的一些曲線方程，要對它們套用微積分的方法，那種情形必須給予特別的處理，或者把它們分割為多個函式，總之為了統一地發展我們後面要討論地微積分技術，我們總是堅持這一點為函式的必要條件。
第二點需要特別用心的地方就是根據函式關係由定義域求值域。或者是只是根據函式關係的數學表達式本身，來求出具有數學意義的定義域和值域，或者還要求具有實際意義而不只是具有數學意義的定義域和值域。這就要求我們熟練掌握各種函式的數學性質，特別是我們下面要討論的幾種基本初等函式的性質。我們將在下面結合例題更詳細地討論這點，並且希望讀者多作練習。
並不是說我們需要把一個函式用某種方式給出，就可以說是已經掌握了這個函式。因為對於一個函式的了解，並不是知道了這個函式所代表的所有數值對應，就能判斷這個函式的行為與性質，在實際問題當中，我們更加需要得到的是一個函式的性質，因為某種變化規律所具有的性質，往往表達了某個概念，而我們人類對於事物的了解最終是基於概念的理解，而不是一堆數據本身。
函式的性質
下面我們就來討論函式所可能具有的幾種性質。這幾種性質都具有非常直觀的意義，只需要用初等的方式就可以表達出來。
（一）函式的單調性。
從直觀的感覺來看，所謂單調錶明了函式在某點附近具有平滑的變化，如果把函式的自變數與因變數分別在平面上的直角坐標系的兩個坐標軸上取值，得到函式的圖象，就可以看到函式在某點附近的單調性，意味著函式在這點附近沒有劇烈的震盪，或者這點左邊的點的函式值比右邊的點的函式值大，或者反過來右邊的點的函式值比左邊的點的函式值大。這樣在一個區間內每個點都具有同樣的一個性質，就可以定義這個區間的單調性。
精確地說，函式y=f（x）在區間K內的任意兩點a，b，只要a<b,就有f(a)<f(b).或者是f(a)>f(b).那么就稱這個函式在區間K具有單調性，如果是f(a)<f(b)的情形，則稱為單調增加,如果是f(a)>f(b)的情形，則稱為是單調減少。這是嚴格的情形，如果上面的大於和小於分別是大於或等於和小於或等於，則是非嚴格的單調性。
注意上面定義里的任意兩個字，應該說這是一個很嚴格的條件。也是單調性定義里的關鍵所在。
構想一下，如果我們有一個函式，完全由所有的數值的對應來表達，那么要判斷這個函式在一個區間內的單調性，則需要對這個區間內的所有數值順序進行比較，顯然，如果是對於一般的函式，這是非常困難的事。不過如果是用我們常見的一般的解析表達式給出的函式，通過直接對解析表達式進行比較，則是非常容易判斷的。這裡的關鍵是我們常見的一般的解析表達式給出的是變化比較平滑的函式，而如果函式的圖象如下所示，則只有在極其小的區間內才有可能考慮函式的單調性。
（二）函式的有界性；
從直觀的感覺來看，函式的有界性就是函式圖形在某個特定範圍或者是在整個定義域的上下“高度”有限。或者就說是函式在某個特定區間或者在整個定義域都不存在函式取值為正無窮大或負無窮大的點。
精確地說，就是取函式f（x）有定義的一個集合K，如果存在一個確定的正數M，無論M可能有多么大，只要對於集合K內的所有的點x，都有成立，那么就稱函式f（x）在集合K上有界。
注意上面定義中函式外面的絕對值符號，這表明有界性是同時在上下加以限制的。
這個性質是非常好理解的。之所以提出這么一個性質出來，倒不是因為有界性具有什麼特別的趣味，而是反過來，不具有有界性的函式常常是我們必須加以注意和分析的對象，因此我們提出函式的有界性，正是為了用於判斷函式是否存在無界的性質。
從上面的定義可以看到，我們是無法直接套用這個定義來證明某個函式是否有界的，因為這是一個存在性定義，我們必須通過其他的方法，來找到這么一個M，才能得到證明，而如何找到這個M，則是這個定義所沒有給出的。
另外，對於這個M，只是要求其存在性，而沒有要求其唯一性，實際上，這個M不可能具備唯一性，因為只要存在一個M滿足條件，由於M是一個有限大小的正數，那么任何一個比M大的數同樣可以作為函式的界。
下面是用圖象表示的有界性的兩種典型情況：
（三）函式的奇偶性；
同樣可以從圖象方面得到對於奇偶性的很好的理解，就是看在某個區間內，整個函式圖形是否具有對於Y軸的鏡象對稱或者對於原點的中心對稱性。這樣我們至少可以知道，首先這個函式的定義域必須是X軸上關於原點對稱的。
精確地說，就是取函式有定義的一個關於原點對稱的區間（-L，L），
（1） 如果對於在區間（-L，L）內任意的一點x，都有f（-x）=-f（x），那么f（x）就是這個區間內的奇函式。
（2） 如果對於在區間（-L，L）內任意的一點x，都有f（-x）=f（x），那么f（x）就是這個區間內的偶函式。
我們可以看到，這個定義是與有界性的定義不同的一種定義方式，就是我們一般可以直接套用這個定義來證明某個函式的奇偶性，這種定義方式就是屬於構造性的定義方式。也就是直接給出了符合定義的對於如何構造出來。在今後的學習當中，我們應該注意到這兩種定義方式的差別所在。
這裡我們還應該體會到在坐標系裡，對函式進行反射變化實際上就是進行如下變數代換：
關於原點的中心對稱變換：
關於Y軸的鏡面反射變換：
而如果在這樣的變換之下，函式的形式並沒有變化，那么對於關於原點的中心對稱變換，就是奇函式；對於Y軸的鏡面反射變換，就是偶函式。
那么我們在證明某個函式是否具有奇偶性，或者是奇函式還是偶函式，就可以直接套用這個變數變換，從而得到判據。
（四）函式的周期性。
從直觀上來看，就是整個函式圖形是否可以通過沿著X軸，無論是朝哪個方向，平移一個有限大小的距離，得到的函式圖象與原來的函式圖象可以完全重合。也就是說具有沿著X軸的平移不變性質。把這個意思精確表達出來，就是周期性的定義：
對於實數上定義的函式y=f（x），如果存在一個非零的實數a，使得f（x）=f（x+a）總是成立，那么就說函式y=f（x）是實數上的周期函式，周期為a。
注意，這裡a的正負無所謂，因為函式在整個X軸上定義，a為正數，只是表明函式沿著X軸向右平移a的距離，a為負數，只是表明函式沿著X軸向左平移a的距離，這兩種平移方式是等價的。
可以看到，嚴格的平移不變性要求函式在整個X軸上都有定義，否則，進行平移必定會使得函式超出本來的定義域。不過，在某些情況下，也可以定義在有限區間內的周期性，只是這時候就不能套用這個定義了，而只能具體地規定函式有限的周期性。一般我們不考慮這樣的函式。
在周期性的定義里，我們還可以看到，這個定義也是屬於存在性定義，也就是說，直接從定義出發，我們無法得到具體的周期，儘管要證明一個函式的周期性，並不一定需要求出具體的周期a是多少，但無論如何，我們必須從別的地方入手來證明周期的存在性。
周期函式的一個特例是y=a，其中a是一個常數。這個函式的周期是任意的實數。
函式的反函式
我們從函式的定義可以很自然地得到非常有意義的反函式的概念。
所謂函式無非就是自變數與因變數的數值對應，因此這種對應也可以在相反的方向上成立，即因變數的數值與自變數的數值的對應。當然，如果要想使得得到的這個新的數值對應仍然還是一個函式，就必須還滿足一個條件，就是因變數的每一個數值，對應於唯一的一個自變數的數值，再把這個條件和本來的要求自變數的每一個數值，對應於因變數的唯一一個數值加起來，就得到了一個函式存在反函式的充要條件是：自變數和因變數必須一一對應。
現在我們就可以形式地表達反函式的概念如下：
對於一個函式y=f（x），如果對於每一個因變數y的值，只存在唯一的一個自變數的值和它對應，那么可以把這種從因變數到自變數的關係看成一個新的函式：x=g（y）。這個新的函式就是函式y=f（x）的反函式。
從直觀上來看，就是把一個函式對直線x=y進行鏡象反射所得到的函式。
注意：初學者常常在這裡產生很多混亂的印象。
首先相互作為反函式的兩個函式，實際上是對具有一一對應關係的兩個數值集合之間所存在的關係的兩種看法，也就是說，是兩種不同的對應關係，而不能認為是同一個對應關係。
因此y=f（x）的反函式不能寫成x=f（y），函式符號f（），表示一個特定的對應關係，那么y=f（x）與x=f（y）就只是對應關係相同，此外是完全沒有任何關係的兩個函式。如下圖所示：
如果我們在函式y=f（x）上取一點（a，b），即有b=f（a），如果再取x=b，則得到c=f（b），我們可以看到（a，b）和（b，c）這兩點，並非關於直線y=x對稱，也就是說，a不等於c，即當a通過一個函式關係對應於b時，b通過相應的反函式關係並不是對應於a，要使得在這種情況下，有a=c，只有唯一的函式y=x滿足這個條件。
函式的分類
下面我們開始討論具體的函式，它們是我們在這門課程里最主要的研究對象。也是我們進一步研究更複雜的函式的基礎，儘管讀者可能已經在高中階段學習過這些函式，但仍然需要用更深刻的觀念來把握它們的具體性質。鑒於它們的重要性，我們必須仔細地學習它們，下面分別地根據圖形進行分析。
初等函式
所謂初等函式並非一個很嚴謹的概念，一般說來，就是指以下五種基本初等函式，以及通過對這五種初等函式進行有限運算與有限複合而得到的任意函式。這只是從一般的構成方法來說的，並非從應該具備什麼樣的限制這方面來說的。
下面我們從構成初等函式的基本組成部分開始討論。
（1）冪函式；
冪函式的一般形式為。
如果a取非零的有理數是比較容易理解的，不過初學者對於a取非零的無理數，則不太容易理解，在我們的課程里，不要求掌握如何理解指數為無理數的問題，因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。因此我們只要接受它作為一個已知事實即可。
對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：
首先我們知道如果，q和p都是整數，則，而如果，則，因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那么我們就可以知道：
排除了為0與負數兩種可能，即對於x>0，則a可以是任意實數；
排除了為0這種可能，即對於x<0和x>0的所有實數，p不能是偶數；
排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。
總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下：
如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數；
如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根據p的奇偶性來確定，即如果同時p為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數；如果同時p為奇數，則函式的定義域為不等於0 的所有實數。
在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。
在x小於0時，則只有同時p為奇數，函式的值域為非零的實數。
而只有a為正數，0才進入函式的值域。
由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況.
可以看到：
（1）所有的圖形都通過（1，1）這點。
（2）當a大於0時，冪函式為單調遞增的，而a小於0時，冪函式為單調遞減函式。
（3）當a大於1時，冪函式圖形下凹；當a小於1大於0時，冪函式圖形上凸。
（4）當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。
（5）a大於0，函式過（0，0）；a小於0，函式不過（0，0）點。
（6）顯然冪函式無界。
（2）指數函式；
指數函式的一般形式為，從上面我們對於冪函式的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得
如圖所示為a的不同大小影響函式圖形的情況。
可以看到：
（1） 指數函式的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大於0，對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。
（2） 指數函式的值域為大於0的實數集合。
（3） 函式圖形都是下凹的。
（4） a大於1，則指數函式單調遞增；a小於1大於0，則為單調遞減的。
（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（當然不能等於0），函式的曲線從分別接近於Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函式的位置，趨向分別接近於Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
（6） 函式總是在某一個方向上無限趨向於X軸。
（7） 函式總是通過（0，1）這點。
（8） 顯然指數函式無界。
（3）對數函式；
對數函式的一般形式為，它實際上就是指數函式的反函式。因此指數函數裡對於a的規定，同樣適用於對數函式。
下圖給出對於不同大小a所表示的函式圖形：
可以看到對數函式的圖形只不過的指數函式的圖形的關於直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函式。
（1） 對數函式的定義域為大於0的實數集合。
（2） 對數函式的值域為全部實數集合。
（3） 函式總是通過（1，0）這點。
（4） a大於1時，為單調遞增函式，並且上凸；a小於1大於0時，函式為單調遞減函式，並且下凹。
（5） 顯然對數函式無界。
（4）三角函式；
三角函式分成6種形式，都是典型的周期函式：
正弦函式：y=sinx;
餘弦函式：y=cosx;
正切函式：y=tgx;
餘切函式：y=ctgx;
正割函式：y=secx;
餘割函式：y=cscx.
下面分別結合函式的圖形來討論它們的性質。
正弦函式：y=sinx與餘弦函式：y=cosx：
下面是正弦函式和餘弦函式的圖形：
可以看到：
（1） 這兩種函式的周期都是。
（2） 餘弦函式y=cosx沿著X軸的正方向平移，就與正弦函式y=sinx完全重合。
（3） 它們的定義域都是實數。
（4） 它們的值域都是大於等於-1，小於等於1。
（5） 它們都是有界的。
（6） 正弦函式為奇函式。
（7） 餘弦函式為偶函式。
正切函式：y=tgx，餘切函式：y=ctgx：
下圖中，粗線是正切函式的圖形，細線是餘切函式的圖形，從圖形可以看到：
（1） 它們都是周期函式，周期都是。
（2） 正切函式的定義域是實數軸上，除了這些點以外的所有點的集合。
（3） 餘切函式的定義域是實數軸上，除了這些點以外的所有點的集合。
（4） 它們的值域都是實數集合。
（5） 在兩個間斷點之間，正切函式是單調遞增函式，而餘弦函式是單調遞減函式。
（6） 正切函式無限趨向於直線x=。
（7） 餘切函式無限趨向於直線x=。
（8） 它們都是無界函式。
正割函式：y=secx，餘割函式：y=cscx：
下面的圖中，粗線是正割函式的圖形，細線是餘割函式的圖形。從圖可以看到：
（1） 它們都是周期函式，周期都是。
（2） 正割函式的定義域是實數軸上，除了這些點以外的所有點的集合。
（3） 餘割函式的定義域是實數軸上，除了這些點以外的所有點的集合。
（4） 它們的值域都是實數集合里大於1和小於-1的實數集合。
（5） 正割函式無限趨向於直線x=。
（6） 餘割函式無限趨向於直線x=。
（7） 它們都是無界函式。
（8） 正割函式為偶函式。
（9） 餘割函式為奇函式。
（5）反三角函式；
6種三角函式都有相應的反函式，稱為反三角函式，它們是：
反正弦函式：y=arcsinx;
反餘弦函式：y=arccosx;
反正切函式：y=arctgx;
反餘切函式：y=arcctgx;
反正割函式：y=arcsecx;
反餘割函式：y=arccscx.
由於6種三角函式都是周期函式，因此從嚴格的意義上來講，它們不存在反函式，而只有把它們的定義域進行適當的限制以後，才可以說是存在反函式。反過來，也可以說是對反三角函式的值域進行適當的限制。
對於正弦函式，正切函式，餘割函式，要構造相應的反函式，值域一般取為。
對於餘弦函式，餘切函式，正割函式，要構造相應的反函式，值域一般取為。
這樣我們就得到了滿足函式定義的反三角函式，下面我們分別結合函式的圖形進行討論。
反正弦函式：y=arcsinx，反餘弦函式：y=arccosx。
在下圖中，粗線為y=arcsinx，細線為y=arccosx。可以看到：
（1） 反正弦函式的定義域為[-1，1]，值域為。
（2） 反餘弦函式的定義域為[-1，1]，值域為。
（3） 反正弦函式為單調遞增的；反餘弦函式為單調遞減的。
（4） 它們都是有界的。
（5） 反正弦函式為奇函式。
反正切函式：y=arctgx，反餘切函式：y=arcctgx：
在下圖中，粗線為y=arctgx，細線為y=arcctgx。可以看到：
（1） 正切函式的定義域為實數集合，值域為。
（2） 反餘切函式的定義域為實數集合，值域為。
（3） 反正切函式為單調遞增的；反餘切函式為單調遞減的。
（4） 反正切函式無限趨向於這兩條直線。反餘切函式無限地趨向於這兩條直線。
（5） 它們都是有界的。
（6） 反正切函式為奇函式。
反正割函式：y=arcsecx，反餘割函式：y=arccscx：
在下圖中，粗線為y=arcsinx，細線為y=arccosx。可以看到：
（1） 正割函式的定義域為，值域為。
（2） 反餘割函式的定義域為，值域為。
（3） 反正割函式的兩支分別都是為單調遞增的；反割弦函式的兩支分別都是為單調遞減的。
（4） 反正割函式無限趨向於這條直線。反餘割函式無限地趨向於這條直線。
（5） 它們都是有界的。
（6） 反餘割函式為奇函式。
函式的運算
我們已經討論了初等函式的基本類型，對它們進行有限四則算術運算，就可以得到結構更複雜的初等函式，對於這么構成的複雜初等函式，我們仍然有可能根據組成它的基本初等函式的性質來估計它的某些性質，例如在相同的定義域裡，兩個偶函式的代數和仍然是偶函式，兩個有界函式的代數和仍然是有界函式等等，這些都可以根據具體的情況來分析，特別有助於我們在考試時，形成簡潔的的解題思路。
函式的複合
所謂函式的複合，就是進行變數代換。任何一個初等函式z=f（y）的自變數y，如果同時作為另一個函式y=g（x）的因變數，那么把g（x）代入f（y），就得到了一個新的以x為自變數的z的函式z=f（g（x））。這個過程就是函式的複合過程。
在函式的複合過程中，有一個細節需要注意：
g(x)的值域必須是f（x）的定義域的子集；
只有這樣才能保證函式複合的合法性。
反過來，我們也可以把一個形式複雜的函式，理解為複合函式，這樣就可以按照複合的結構，把它分解為一些形式相對比較簡單的形式的函式，從而使得我們能夠套用微積分的適當方法對複雜函式進行分析。
另外分析函式的複合結構，也是在分析函式的定義域以及值域時，必須進行的一個步驟，實際上按照函式的複合結構，一步一步地解不等式，正是我們分析複雜函式的定義域以及值域的步驟。
初等函式
至此為止，我們可以說初等函式的構成，就是把基本初等函式，通過有限次數的四則運算與函式複合而得到的。
這裡的關鍵是有限次數，所謂初等性，其實主要是來自於這個有限性，在後面我們學習無窮級數時，會體會到無窮次數的初等運算不一定可以通過有限的初等函式表示出來。
至於更為確切的初等函式的定義是很難下的，因為在我們的課程里，這個概念本來是一個限制性的概念，並沒有非常精確的定義，所以我們也就無須過分地糾纏。
雙曲函式和反雙曲函式。
由於常見的緣故，我們常常需要討論一些特定的複合函式，例如我們在工程領域常常遇到的一類自然指數通過特定的一些組合而得到函式，就是所謂雙曲函式及其反函式,下面給出這些函式的定義以及圖形，建議同學們仔細揣摩它們的性質，儘量從直觀方面來熟悉它們：
雙曲正弦函式：；
反雙曲正弦函式：；
雙曲餘弦函式：；
反雙曲餘弦函式：
雙曲正切函式：；
反雙曲正切函式：
雙曲餘切函式：
反雙曲餘切函式：
分段函式。
我們在實際問題中會經常遇到一種特殊形式的函式，它不屬於初等函式，而是由一些在不同的定義域區間定義的初等函式組合起來的，這種形式的函式也許數學方面的意義並不是很大，但是實際意義還是很大的，特別是這種函式在分段點處，往往需要進行個別的研究，這常常是我們在後面的學習當中需要作為特殊情況加以處理的地方。
答疑解難
1． 在函式有界性的定義里，M是唯一確定的嗎？
[答]：不是。
在我們的有界性定義當中，只是指出了一個存在性的條件，即只要存在一個符合條件的M值，那么函式就是有界的。反過來，如果存在一個確定而有限的M值，那么我們總是可以讓M加以任何一個正數，從而得到另外一個不同的M值，這就是說我們實際上可以由此而得到無數的M值。記住這裡的關鍵是定義的存在性。
2． 周期函式的定義域必須是全部實數嗎？
[答]：嚴格說來，周期函式的定義域應該是全部實數，因為周期性的實質，就是整個函式的圖形沿著X軸進行一定大小的平移，而整個函式保持不變。而如果函式的定義域是實數集合上的有限大小的區間，那么這種平移肯定會使得函式的定義域發生改變，從而改變了原來的函式本身。不過在不過於嚴謹的情況下，可以通過一定的定義，使得我們只是著重於函式在局部的周期性，這樣也就還是可以定義在局部區間的周期性的。
3． 一個周期函式的周期是唯一的嗎？
[答]：不是唯一的。
很顯然，如果已知一個周期函式存在一個周期T，那么至少2T也是這個函式的周期，初學者對周期函式往往只是對一個周期函式的最小周期有印象，而忽略了最小周期的任意整數倍都是周期這么一個簡單的事實，而我們後面常常在一些解題技巧當中需要意識到這點。
4． 反函式就是把一個函式的自變數與因變數的符號進行互換而得到的嗎？
[答]：錯誤。
初學者常常在這個問題上犯糊塗的主要原因，是不能很仔細地抓定義，抓概念，而是滿足於望文生義，必定無法學好微積分。
反函式概念的核心在於，互為反函式的兩個函式表示的並不是同一個函式關係，因為我們改變了關於因變數與自變數的觀點，我們不能對同一個函式說，它既表示了y對x的函式關係，又說它表示了x對y的函式關係，因此至於我們習慣上寫出顯式來，並且交換自變數與因變數的字母，從而能夠在幾何上建立一個直觀。
一般地，在我們學習任何概念的時候，關鍵是要建立起自己的對於一個抽象概念的直觀方式，比方說反函式，如果能夠牢固地抓住互為反函式的兩個函式的幾何圖象的特徵，即它們在直角坐標系裡關於直線x=y對稱，就有了一個思考的線索與途徑。
5． 函式y=x，（-6<x<10）是偶函式還是奇函式？
[答]：不對。
函式的奇偶性並不是只與函式形式有關，還與函式的定義域有關，即具有奇偶性的函式的定義域必定要求是關於原點對稱的。
6． 單調遞增函式的反函式為單調遞減函式，對嗎？
[答]：不對。
這裡應該強調嚴格單調性，只有對於具有嚴格單調性的函式，才具有這樣的性質。
7． 在冪函數裡的x可以取負值，為什麼指數函數裡的a不能取負值？
[答]：在冪函數裡的x可以取負值，是在一定的條件下，即其中指數的分母為奇數。這裡指數為常數，因此只要確定了指數，函式也就確定了。
而在指數函數裡，處於指數位置的x是自變數，這時函式的定義域就不再是完整的區間，變得很複雜，因此我們只考慮指數函數裡的a大於0的情形。
8. 反三角函式是三角函式的反函式，對嗎？
[答]：從嚴格的意義來講，這么說是不嚴謹的。
因為當我們取反三角函式時，必須取三角函式的部分定義域，才能使得反三角函式滿足函式的定義，因此只有與在定義域上相應作了限制的三角函式才具有反函式。
