雙曲正切函式

雙曲正切函式（hyperbolic tangent function）是雙曲函式的一種。雙曲正切函式在數學語言上一般寫作tanh，也可簡寫成th。與三角函式一樣，雙曲函式也分為雙曲正弦、雙曲餘弦、雙曲正切、雙曲餘切、雙曲正割、雙曲餘割6種，雙曲正切函式便是其中之一。

與正切函式類似，雙曲正切函式在計算上等於雙曲正弦與雙曲餘弦的比值，即tanh(x)=sinh(x)/cosh(x)。

基本介紹

• 中文名：雙曲正切函式
• 外文名：hyperbolic tangent function, tanh
• 類型：實變函式，雙曲函式
• 學科：數學

定義

雙曲正切函式（tanh）是雙曲正弦函式（sinh）與雙曲餘弦函式（cosh）的比值，其解析形式為：

考慮不等關係：可知，雙曲正切函式的定義域為實數域。

運算

導數

雙曲的導數是雙曲餘弦的平方的倒數，即：

積分

雙曲正切函式的不定積分有如下形式：

式中為常數。

泰勒展開

雙曲正切函式的泰勒展開式為：

式中為伯努力數（Bernoulli number）。

反函式

雙曲正切函式的反函式是反雙曲正切函式，其定義為：

反雙曲正切函式的圖像

函式的定義域為開區間（-1,1），它在開區間（-1,1）內是單調增加的奇函式，圖形關於原點對稱。

與其他雙曲函式的關係

除了雙曲正切函式的定義式外，雙曲正切函式還有以下式子。

1、和角公式：

2、差角公式：（和角公式的推導）

3、二倍角公式：（和角公式的推導）

4、恆等式：

性質

有界性

雙曲正切函式的圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間，且當x的絕對值很大時，它的圖形在第一象限內接近於直線y=1，而在第三象限內接近於直線y=-1。

即雙曲正切函式的值域是(-1,1)。

證明：

當 時，由於 ,則 。

當 時，由於 ，則 。

奇偶性

雙曲正切函式是奇函式，它的圖形通過原點且關於原點對稱。

下面是證明：首先明確雙曲正切函式的定義域是 。

。

而

得出，則證明出雙曲正切函式為奇函式。

周期性

無論是雙曲正切函式y=tanhx，還是雙曲正弦函式y=sinhx、雙曲餘弦函式y=coshx，它們都不是周期函式。

雙曲正切函式的圖像

單調性

雙曲正切函式在區間 內是單調增加的。

證明如下：

對雙曲正切函式求導。

而

得出雙曲正切函式的導數為： 。而無論x取何值，雙曲餘弦函式的值始終大於等於1，得出x在 內大於0，單調遞增。

凹凸性

雙曲正切函式的圖像

雙曲正切函式在 上是凹函式，在 上是凸函式。

根據定理：設f(x)在[a,b]上連續，在（a,b）內具有一階和二階導數，那么

（1）若在（a,b）內 ,則f(x)在[a,b]上的圖形是凹的。

（2）若在（a,b）內 ,則f(x)在[a,b]上的圖形是凸的。

則給雙曲餘弦函式二次求導，得

而雙曲餘弦函式恆大於0，而雙曲正弦函式在x<0時，它的值小於0，x>0時，它的值大於0，即得出上述結論。