基本介紹
- 中文名：射影幾何學
- 外文名： projective geometry
- 時間：十七世紀
- 性質：幾何學分支學科
- 基於：繪圖學和建築學的需
- 別名：投影幾何學
幾何學概況,幾何學內容,齊次坐標,對偶原理,公理系統,歷史,
幾何學概況
圖1 射影幾何學時期透視學的興起，給這門幾何學的產生和成長準備了充分的條件。這門幾何學就是射影幾何學。
在文藝復興時期，人們在繪畫和建築藝術方面非常注意和大力研究如何在平面上表現實物的圖形。那時候，人們發現，一個畫家要把一個事物畫在一塊畫布上就好比是用自己的眼睛當作投影中心，把實物的影子影射到畫布上去，然後再描繪出來。在這個過程中，被描繪下來的像中的各個元素的相對大小和位置關係，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數學家對圖形在中心投影下的性質進行研究，因而就逐漸產生了許多過去沒有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門學科。
迪沙格是一個自學成才的數學家，他年輕的時候當過陸軍軍官，後來鑽研工程技術，成了一名工程師和建築師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐曲線和平面的相交所得結果的初稿》，書中他引入了許多幾何學的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費爾馬都很推崇他的著作，費爾馬甚至認為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。
迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學的基礎。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個三角形對應頂點連線共點，那么對應邊的交點共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。
帕斯卡也為射影幾何學的早期工作做出了重要的貢獻，1641年，他發現了一條定理：“內接於二次曲線的六邊形的三雙對邊的交點共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學中的一條重要定理。1658年，他寫了《圓錐曲線論》一書，書中很多定理都是射影幾何方面的內容。迪沙格和他是朋友，曾經敦促他搞透視學方面的研究，並且建議他要把圓錐曲線的許多性質簡化成少數幾個基本命題作為目標。帕斯卡接受了這些建議。後來他寫了許多有關射影幾何方面的小冊子。
施泰納研究了利用簡單圖形產生較複雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進的。為了擺脫坐標系對度量概念的依賴，施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點坐標系，進而使交比也不依賴於長度概念。由於忽視了連續公理的必要性，他建立坐標系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。
另—方面，運用解析法來研究射影幾何也有長足進展。首先是莫比烏斯創建一種齊次坐標系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進丁另一種齊次坐標系，得到了平面上無窮遠線的方程，無窮遠圓點的坐標。他還引進了線坐標概念，於是從代數觀點就自然得到了對偶原理，並得到了關於一般線素曲線的一些概念。
在19世紀前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭論異常激烈；有些數學家完全否定綜合法，認為它沒有前途，而一些幾何學家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認綜合法有其局限性，在研究過程中也難免藉助於代數，但在著作中總是用綜合法來論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個優美的體系，而且用綜合法也確實形象鮮明，有些問題論證直接?蚪唷?882年帕施建成第一個嚴格的射影幾何演繹體系。
射影幾何學的發展和其他數學分支的發展有密切的關係，特別是“群”的概念產生以後，也被引進了射影幾何學，對這門幾何學的研究起了促進作用。
把各種幾何和變換群相聯繫的是克萊因，他在埃爾朗根綱領中提出了這個觀點，並把幾種經典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關係變得十分明朗。這個綱領產生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個分類法。後來嘉當等在拓廣幾何分類的方法中作出了新的貢獻。
幾何學內容
概括的說，射影幾何學是幾何學的一個重要分支學科，它是專門研究圖形的位置關係的，也是專門用來討論在把點投影到直線或者平面上的時候，圖形的不變性質的科學。
在射影幾何學中，把無窮遠點看作是“理想點”。通常的直線再加上一個無窮點就是無窮遠直線，如果一個平面內兩條直線平行，那么這兩條直線就交於這兩條直線共有的無窮遠點。通過同一無窮遠點的所有直
圖2 點列和線束間的投影和截影線平行。
在引入無窮遠點和無窮遠直線後，原來普通點和普通直線的結合關係依然成立，而過去只有兩條直線不平行的時候才能求交點的限制就消失了。
由於經過同一個無窮遠點的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統一了。平行射影可以看作是經過無窮遠點的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個圖形映成另一個圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。
射影變換有兩個重要的性質：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平麵點之間的射影對應。
在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們如果都是由點和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內容只是關於點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。
研究在射影變換下二次曲線的不變性質，也是射影幾何學的一項重要內容。
圖3 德扎格定理示意圖如果就幾何學內容的多少來說，射影幾何學< 仿射幾何學< 歐氏幾何學，這就是說歐氏幾何學的內容最豐富，而射影幾何學的內容最貧乏。比如在歐氏幾何學裡可以討論仿射幾何學的對象(如簡比、平行性等)和射影幾何學的對象(如四點的交比等)，反過來，在射影幾何學裡不能討論圖形的仿射性質，而在仿射幾何學裡也不能討論圖形的度量性質。
1872年，德國數學家克萊因在愛爾朗根大學提出著名的《愛爾朗根計畫書》中提出用變換群對幾何學進行分類，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應的幾何學，而在每一種幾何學裡，主要研究在相應的變換下的不變數和不變性。
擴大空間和射影空間 在一個歐氏（或仿射）平面上，兩條直線一般相交於一點，但有例外，平行線不相交。這種例外，使某些定理顯得複雜。為了排除這種例外，在每條直線上添上一個理想點，叫做無窮遠點，並假定平行直線相交於無窮遠點。添上無窮遠點的直線叫做擴大直線，它是閉的，象圓周那樣，去掉它上面一點，不會使它分成兩截。再假定不平行的直線有不同的無窮遠點，這樣，平面上一切無窮遠點的集合就叫做無窮遠（直）線，而添上無窮遠線之後的平面就叫做擴大平面。擴大平面也是閉的，去掉它上面一條直線，不會使它分成兩塊。
同樣，三維歐氏（或仿射）空間中一切無窮遠點的集合叫做無窮遠（平）面。添上無窮遠面後的空間叫做擴大空間，它也是閉的。在擴大空間，不但平行直線交於一個無窮遠點，而且平行平面交於一條無窮遠直線，一條非無窮遠直線和一個與它平行的平面交於一個無窮遠點。
圖4 帕斯卡如果再進一步，把無窮遠元素（點、線、面）和非無窮遠元素平等看待，不加區別，擴大空間就叫做射影空間。同樣，從擴大直線和擴大平面可以得到射影直線和射影平面。在射影空間裡，平行的概念消失了：兩條共面直線或一個平面和一條直線總相交於一點，兩個平面總相交於一條直線；此外，每兩點總決定一條直線，每三個不共線點總決定一個平面，等等。
齊次坐標
仍從歐氏（或仿射）平面開始。設在平面上已經建立了以O為原點的直角（或仿射）坐標系，(x，y)為一點p 的坐標。令則比值x0:x1:x2完全確定p 的位置，(x0，x1，x2)就叫做p的齊次（笛氏）坐標。原點的齊次坐標顯然可以寫成(1，0，0)。設p不是原點O，則x1，x2不同時等於零；再令x1，x2固定，而令x0向0接近，則p點沿一條經過O而斜率為x2:x1的直線l向遠方移動。設表示擴大直線l上的無窮遠點，則可以認為，當x0趨於O 時，p趨於。因此，可以把(0，x1，x2)作為的齊次坐標，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x軸和y 軸上無窮遠點的齊次坐標。這樣，每一組不同時為零的三個數x0，x1，x2都是擴大平面上一點的齊次坐標，而若ρ 為不等於零的數，則(ρx0，ρx1，ρx2)和(x0，x1，x2)代表同一點，下面引進記號(x)=(x0，x1，x2)，ρ(x)=(ρx0，ρx1，ρx2)。
這也就是擴大直線的齊次方程，這直線上的無窮遠點是(0，u2，-u1)
(0，u2，-u1)。擴大平面上的無窮遠直線方程顯然可以寫成x0=0。這樣，每一個齊次線性方程都代表擴大平面上一條直線。由於比值u0:u1:u2完全確定直線，(u)=(u0，u1，u2)就叫做（齊次）線坐標。為了區別兩種齊次坐標，上面引進的(x)=(x0，x1，x2)就叫做（齊次）點坐標。方程(1)叫做點(x)和線(u)的關聯條件或接合（即(x)在(u)上，或(u)經過(x)）條件。
對偶原理
設方程(1)里的uj是固定的，它就代表一條直線；令滿足(1)的xj變動，就可以得到在該線上的一切點，這些點的集合叫做以(u)為底的點列，而(1)也就是點列的方程。根據線性方程理論，可以看出，點列中每三點線性相關。即：若(y)，(z)是點列中任意兩個不同的點，則它的每一點(x)都可以寫成(y)和(z)的線性組合(x)=λ(y)+μ(z，)，其中λ，μ是齊次參數。在一定意義上，λ，μ也可以作為點列中的射影坐標。另一方面，若令(1)中的xj固定，而令uj變動，就得到一切經過點(x)的直線(u)，它們的集合叫做以(x)為中心的線束，而(1)就是線束的方程，同時也是點(x)的方程。若(υ)，(ω)是線束中任意兩條直線，則線束的每一條直線(u)都可以寫成
已給平面上一個以點和直線構成的圖形，把其中的點和直線對換，就得到另一個圖形，叫做所給圖形的對偶。例如，點列（和一條直線關聯的點的集合）和線束（和一點關聯的直線的集合）是對偶形。三角形是自對偶形。
三維空間也有對偶定理。在空間，點和面是對偶元素，直線是自對偶元素。線束是自對偶形。空間還有一個一維基本形是面束，這是經過同一條直線的平面的集合。面束是點列的對偶。在同一個平面上的點的集合叫做點場，經過同一點的平面的集合叫做面把;點場和面把互為對偶。在同一個平面上的直線的集合叫做線場，經過同一點的直線的集合叫做線把；線場和線把互為對偶。點場，線場，面把，線把都是二維基本形。空間的點的集合和空間的平面的集合依次叫做點空間和面空間，它們是互為對偶的三維基本形。在空間，三角形的對偶是三棱形。三棱形由經過同一點的三條不共面的直線所構成，這三條直線兩兩確定三個不共線的平面。對於不共面的兩個三角形，德扎格定理仍然成立，但在空間，它不是自對偶定理。
通過代數來說明對偶原理是簡捷了當的，但不是必須的。
空間的直線構成一個四維集合（見直線幾何）。
射影對應與射影變換
在一維基本形之間，可以通過投影和截影互相轉化。
圖5 對應元素用{p}表示直線l上的點列，其中p表示點列中的任意點。設S為不在l上的一點，作直線p=SP，則當p在l上變動時，就得到以S為中心的線束{p}，叫做點列{p}的投影，而{p}就叫做線束{p}的截影，p和 p叫做對應元素（圖5）。
再設S1為空間不在{p}的平面上的點，作經過S1和p的平面π，就得到以SS1為軸的面束{π}，它是{p}的投影，{p}是{π}的截影，p和π 是對應元素（圖6）。若經過一系列的投影和截影，從一個一維基本形到另一個，這兩個基本形就叫做射影相關，它們元素間的對應關係就叫做射影對應。一個射影對應所包含的兩個變換叫做射影變換，它們互為逆變換。
圖6 對應元素在空間，通過投影和截影，點場和線把之間，線場和面把之間都可以互相轉化，因而點場之間，線把之間，線場之間，面把之間也可以互相轉化。至於二維基本形之間的其他轉化，例如點場和線場之間的轉化，則可以通過下面將要敘述的代數方法來確定。同樣，三維基本形之間的轉化也要通過代數方法。總之，兩個二維基本形之間或兩個三維基本形之間，也都可以有射影對應和射影變換。
已經指出，如何在點列，點場，點空間，以及線場和面空間裡建立齊次坐標系。事實上，在任何一個一、二、三維的基本形里，都可以建立齊次（或叫射影）坐標（見射影坐標）。這樣，射影對應或射影變換就可以通過齊次坐標間的滿秩齊次線性變換來表示。例如，設(x)，()為兩個點場的齊次坐標，則射影變換(x)→()可以用三個變數的齊次線性變換
射影變換也可以作用於擴大空間，但經過射影變換，無窮遠元素可以變為非無窮遠，非無窮遠元素可以變為無窮遠（例如平行平面可以變得不平行，不平行平面可以變得平行），因此，在未經擴大的歐氏或仿射空間里，射影變換不完全是一對一的。
直射變換和對射變換與射影群
考慮一個平面上的二維射影變換。平面既是點場的底，又是線場的底，因此，它上面的一個射影變換可以把點變成點（或線變成線），也可以把點變成線（或線變成點），前一種叫做直射變換，後一種叫做對射變換。
直射變換的逆變換和它們的積（即兩個直射變換接連作用所形成的變換）都是直射變換。因此，平面上一切直射變換構成群，叫做平面直射群。直射變換的特徵是，它把共線的點變成共線的點，因而可以說，也把直線變成直線。
公理系統
以三維射影幾何為例，在那裡，基本元素是點，直線和平面。射影幾何公理的表達形式是多種多樣的，一般可以分為三組。第一組叫做關聯公理：例如，兩點確定一條經過它們的直線，三個不共線點確定一個經過它們的平面，兩個平面交於一條直線等等。第二組叫做次序公理：例如，已給直線上三點□，□，□，直線上必有一點□，使□，□和□，□互相隔離等等。第三組只含一個公理，即連續公理。射影直線上的連續公理實質上就是規定：去掉直線上一點以後，直線上剩下來的部分滿足實數軸上的戴德金連續公理。
不同維的射影空間，可以在關聯公理里加以區別。
只滿足關聯公理的空間可以稱為一般射影空間；在那裡面，仍然有射影變換，其相應的幾何可以稱為一般射影幾何。如果把關聯公理要求降低，也可以得到更一般的射影空間和射影幾何。當然，在一個一般射影空間裡，實射影幾何的定理不完全成立。
也可以一開始就通過代數方法來建立射影幾何。
歷史
射影幾何的主要奠基人是 19世紀的J.-V.彭賽列。他是畫法幾何的創始人G.蒙日的學生。蒙日帶動了他的許多學生（C.－J.布里昂雄是其中之一）用綜合法研究幾何。由於德扎格和帕斯卡等的工作被長期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。1822年，彭賽列發表了射影幾何的第一部系統著作。他是認識到射影幾何是一個新的數學分支的第一個數學家。他通過幾何方法引進無窮遠虛圓點，研究了配極對應並用它來確立對偶原理。稍後，J.施泰納研究了利用簡單圖形產生較複雜圖形（例如二次曲線和二次曲面）的方法，線素二次曲線概念也是他引進的(1832)。為了擺脫坐標系對度量概念的依賴，K.G.C.von施陶特通過幾何作圖來建立直線上的點坐標系(1847)，進而令交比也不依賴於長度概念。由於忽視了連續公理的必要性，他建立坐標系的做法並不完善，但卻邁出了決定性的一步。
