笛沙格

笛沙格，1591年2月21日出生於法國里昂，法國數學家、建築師。

基本介紹

• 中文名：笛沙格
• 外文名：Girard Desargues
• 別名：S.G.D.L.
• 國籍：法國
• 出生日期：1591年2月21日
• 逝世日期：1661年10月
• 主要成就：射影幾何的創始人之一
• 出生地：法國里昂
• 全名：吉拉德·笛沙格

人物生平

吉拉德·笛沙格（Girard Desargues，1591年2月21日生於法國里昂，3月2日受洗，1661年10月卒於里昂），法國數學家和工程師，別名S.G.D.L. ，他署名Sieur Girard Desargues Lyonnois的縮寫。射影幾何的創始人之一，他奠定了射影幾何的基礎。以他命名的事物有笛沙格定理、笛沙格圖、笛沙格平面，1964年，國際天文學聯合會以他的名字命名一個月球環形山。他建立了統一的二次曲線理論，是笛沙格定理三角形的角度，也笛沙格定理的退化（參見南師大周興和[高等幾何]第四章,P.98,科學出版社,2003)。

笛沙格

笛沙格出生於里昂的一個為法國王室服務的家庭。他的父親是皇家公證人。笛沙格於1645開始建築師生涯。在此之前，他是作為一名導師，可能是黎塞留的隨行工程技術顧問。作為建築師，他在巴黎和里昂設計了幾個私人和公共建築；作為工程師，他設計了一個安裝在巴黎附近的提水系統，這個設計基於當時尚不了解的外擺線輪原理。

作為建築師的笛沙格的數學著作早在1639年就已問世，其中已有笛沙格定理的描述，並已有了射影幾何的雛形，不但沒有引起較大關注，他的發現反而引起了當時數學界人士和宗教人士的一些不愉快。做為一名巧匠，他將他的投影透視技術教授給了一些人。他的定理從他去世後直到18世紀也沒引起注意。1864年他的作品被重新發現和再版，隨後被收集到L'oeuvre mathématique de Desargues一書中。在他的晚年，笛沙格公開了標有神秘標題“DALG”的檔案，對這標題最普遍認可的看法是亨利·布羅卡提出的：Des Argues, Lyonnais, Géometre。

笛沙格定理

在射影幾何，笛沙格定理作為一個古老而著名的定理，有著重要的套用。Desargues的定理，被以他的名字命名以紀念Gérard Desargues。陳述如下：

在一個射影空間，二個三角軸向地是在透視，如果，並且，只有當他們在透視在中心。

要了解此，由(小寫) a表示一個三角三個端點、b和c，並且那些其他由(資本) A、B和C.軸向是線上滿意的，如果和，只有當交點ab的與AB的和那ac的交叉點與AC的和那交叉點BC有BC的，是在同一直線上的，條件稱軸。 中央是條件滿意，如果和，只有當三條線Aa， Bb和Cc是一致的，在稱透視中心的點。

笛沙格定理：

投影對仿射空間

在仿射空間，只有當一個列出偶然地介入平行的線的各種各樣的例外一個相似的聲明是真實的。 因此的笛沙格定理是一個自然家在投影而不是的最基本簡單和直覺的幾何定理仿射空間。

Desargues的定理真相在飛機的通過塑造它在三維的空間和隨後射出結果欣然推論入飛機比通過實際修建在2空間的證明。 除非他們適合入空間維度3或較少，二個三角不可能在透視; 因而在更高的維度二個三角的精煉間距總是維度子空間沒有高於3。

Desargues的定理可以陳述如下：

如果A.a， B.b， C.c是一致的，然後

(A.B)∩ (a.b)， (A.C) ∩ (a.c)， (B.C)∩ (b.c)是在同一直線上的。

用純粹符號術語，使用交叉產品和數量積， Desargues的定理可以陳述象如此： 如果

(A \時期a) \ cdot (B \時期b) \時期(C \時期c) = 0

然後

((A \時期B) \時期(a \時期b)) \ cdot (((A \時期C) \ cdot (a \時期c)) \時期((B \時期C) \時期(b \時期c))) = 0。

讓<X， Y， Z>表示標量三重積， Desargues的定理可以因而陳述： 如果

\ langle A \時期a， B \時期b， C \時期c \ rangle = 0

然後

\ langle (A \時期B) \時期(a \時期b)， (A \時期C) \時期(a \時期c)， (B \時期C) \時期(b \時期c) \ rangle = 0。

第一再聲明

知道傳染媒介三重積

x \時期(Y \時期Z)

是相等的

Y (X \ cdot Z) - Z (X \ cdot Y)，

一可能獲得慣例

(X \時期Y) \時期(Z \時期W) = \ langle x， Y， W \ rangle Z - \ langle x， Y， Z \ rangle W。

從最後慣例，一個可能進一步獲得身分

\ langle U \時期v， W \時期x， Y \時期Z \ rangle = \ langle W， X， Z \ rangle \ langle U， V， Y \ rangle - \ langle W， X， Y \ rangle \ langle U， V， Z \ rangle。

通過這個身分的套用， Desargues的定理可以被再聲明如下：

如果

\ langle B， b， c \ rangle \ langle A， a， C \ rangle = \ langle B， b， C \ rangle \ langle A， a， c \ rangle

然後

\ langle A \時期C， a \時期c， b \時期c \ rangle \ langle A \時期B， a \時期b， B \時期C \ rangle = \ langle A \時期C， a \時期c， B \時期C \ rangle \ langle A \時期B， a \時期b， b \時期c \ rangle。

第二再聲明

再申請身分於Desargues的定理，通勤的三重積和周期交換每三重積傳染媒介的第一再聲明的結果，一個得到這第二再聲明：

如果

\ langle A， a， c \ rangle \ langle b， B， C \ rangle = \ langle a， A， C \ rangle \ langle B， b， c \ rangle

然後

\ langle C， a， c \ rangle \ langle b， A， B \ rangle = \ langle c， A， C \ rangle \ langle B， a， b \ rangle。

注意結果的左邊可以從前事的左邊獲得通過代替A→C， B→A， C→B。 並且，結果的右邊可以從前事想法的右邊獲得代替a→c， b→a， c→b。

第三再聲明

傳染媒介微積分定理闡明，二標量三重積產品與元素是規則取決於的數量積矩陣的定列式是相等的

M_ {ij} = u_i \ cdot v_j， \ qquad \ langle u_1， u_2， u_3 \ rangle \ langle v_1， v_2， v_3 \ rangle = |M|.

申請這個定理於第二再聲明產生這第三個：

如果

\離開| \開始{矩陣} A \ cdot b & a \ cdot b & c \ cdot b \ \ A \ cdot B & a \ cdot B & c \ cdot B \ \ A \ cdot C & a \ cdot C & c \ cdot C \末端{矩陣} \正確| = \| \開始{矩陣} a \ cdot B & A \ cdot B & C \ cdot B \ \ a \ cdot b & A \ cdot b & C \ cdot b \ \ a \ cdot c & A \ cdot c & C \ cdot c \末端{矩陣} \正確|

然後

\離開| \開始{矩陣} C \ cdot b & a \ cdot b & c \ cdot b \ \ C \ cdot A & a \ cdot A & c \ cdot A \ \ C \ cdot B & a \ cdot B & c \ cdot B \末端{矩陣} \正確| = \| \開始{矩陣} c \ cdot B & A \ cdot B & C \ cdot B \ \ c \ cdot a & A \ cdot a & C \ cdot a \ \ c \ cdot b & A \ cdot b & C \ cdot b \末端{矩陣} \正確|.

第四再聲明

擴展第三再聲明的定列式產生第四這一個：

如果

(A \ cdot b) (a \ cdot B) (c \ cdot C) + (a \ cdot b) (c \ cdot B) (A \ cdot C) + (c \ cdot b) (A \ cdot B) (a \ cdot C)

- (A \ cdot b) (c \ cdot B) (a \ cdot C) - (a \ cdot b) (A \ cdot B) (c \ cdot C) - (c \ cdot b) (a \ cdot B) (A \ cdot C)

= (a \ cdot B) (A \ cdot b) (C \ cdot c) + (A \ cdot B) (C \ cdot b) (a \ cdot c) + (C \ cdot B) (a \ cdot b) (A \ cdot c)

- (a \ cdot B) (C \ cdot b) (A \ cdot c) - (A \ cdot B) (a \ cdot b) (C \ cdot c) - (C \ cdot B) (A \ cdot b) (a \ cdot c)

然後

(C \ cdot b) (a \ cdot A) (c \ cdot B) + (a \ cdot b) (c \ cdot A) (C \ cdot B) + (c \ cdot b) (C \ cdot A) (a \ cdot B)

- (C \ cdot b) (c \ cdot A) (a \ cdot B) - (a \ cdot b) (C \ cdot A) (c \ cdot B) - (c \ cdot b) (a \ cdot A) (C \ cdot B)

= (c \ cdot B) (A \ cdot a) (C \ cdot b) + (A \ cdot B) (C \ cdot a) (c \ cdot b) + (C \ cdot B) (c \ cdot a) (A \ cdot b)

- (c \ cdot B) (C \ cdot a) (A \ cdot b) - (A \ cdot B) (c \ cdot a) (C \ cdot b) - (C \ cdot B) (A \ cdot a) (c \ cdot b)。

第五再聲明

兩個等式的每邊的第一個和第五個期限(前事和結果)第四再聲明結束取消，產生這第五再聲明：

如果

(A \ cdot C) (B \ cdot c) (a \ cdot b) + (A \ cdot B) (C \ cdot a) (b \ cdot c)

- (A \ cdot b) (B \ cdot c) (C \ cdot a) - (A \ cdot C) (B \ cdot a) (b \ cdot c)

= (A \ cdot B) (C \ cdot b) (a \ cdot c) + (A \ cdot c) (B \ cdot C) (a \ cdot b)

- (A \ cdot c) (B \ cdot a) (C \ cdot b) - (A \ cdot b) (B \ cdot C) (a \ cdot c)

然後

(A \ cdot c) (B \ cdot C) (a \ cdot b) + (A \ cdot C) (B \ cdot a) (b \ cdot c)

- (A \ cdot c) (B \ cdot a) (C \ cdot b) - (A \ cdot C) (B \ cdot c) (a \ cdot b)

= (A \ cdot B) (C \ cdot a) (b \ cdot c) + (A \ cdot b) (B \ cdot C) (a \ cdot c)

- (A \ cdot b) (B \ cdot c) (C \ cdot a) - (A \ cdot B) (C \ cdot b) (a \ cdot c)。

第六再聲明

在第五再聲明的二個等式之間有八個不同期限： 兩次出現的每一個。 讓期限relabeled如下：

t_1 = (A \ cdot C) (B \ cdot c) (a \ cdot b)，

t_2 = (A \ cdot B) (C \ cdot a) (b \ cdot c)，

t_3 = (A \ cdot b) (B \ cdot c) (C \ cdot a)，

t_4 = (A \ cdot C) (B \ cdot a) (b \ cdot c)，

t_5 = (A \ cdot B) (C \ cdot b) (a \ cdot c)，

t_6 = (A \ cdot c) (B \ cdot C) (a \ cdot b)，

t_7 = (A \ cdot c) (B \ cdot a) (C \ cdot b)，

t_8 = (A \ cdot b) (B \ cdot C) (a \ cdot c)。

然後第五再聲明成為下列：

如果

t1 + T2 − t3 − t4 = t5 + t6 − t7 − t8

然後

t6 + t4 − t7 − t1 = T2 + t8 − t3 − t5。

第七再聲明

在第六再聲明的前事的等式的右邊移動期限向左邊和期限在結果的等式的左邊向右邊。 結果是：

如果

t1 + T2 − t3 − t4 − t5 − t6 + t7 + t8 = 0

然後

0 = t1 + T2 − t3 − t4 − t5 − t6 + t7 + t8。