Desargues平面

Desargues平面

德扎格平面(Desargues plane)是一類射影平面,能使德扎格定理成立的射影平面,德扎格定理斷言:若O,A1,B1,C1,A2,B2,C2是相異點,且OA1A2,OB1B2,OC1C2是相異線,線A1B1與A2B2交於點C3,線A1C1與A2C2交於點B3,線B1C1與B2C2交於點A3,則點A3,B3,C3落在同一條線上,以有限域上3維向量作為齊次坐標所得到的射影平面是德扎格平面,並非所有的射影平面都是德扎格平面,不能使德扎格定理成立的射影平面稱為非德扎格平面。

基本介紹

  • 中文名:Desargues平面
  • 外文名:Desargues plane
  • 所屬學科:數學(組合學)
  • 簡介:能使德扎格定理成立的射影平面
  • 別稱:德扎格平面
基本介紹,相關定理,

基本介紹

定義Desargues定理成立的射影平面稱德扎格(Desargues)平面
下面介紹Desargues定理。
Desargues定理是射影幾何中的基本定理之一。對任意素數冪q,Desargues定理在
中都成立。還將給出Desargues定理不成立的有限射影平面的例子。
設q為素數冪,以
表示Fq上的n維向量空間,則
便是以
中1維子空間為點,2維子空間為線,以子空間的包含關係為關聯關係所得的q階射影平面。設x為
中的一個非零向量,用[x]表示由x生成的一維子空間亦即
中的點,則對任意λ∈
,顯然有[x]=[λx],即
中的點與表示此點的非零向量的選取無關。設[x]與[y]為兩個不同的點,則[x]與[y]同時包含在唯一的一條直線L上,此處L由所有滿足下述條件的q+1個點[x]組成:
定理1在PG(2,q)中,Desargues定理成立,即設3條不同的直線A1A2、B1B2、C1C2相交於同一點,X為不同A1、A2、B1、B2、C1、C2的一點。又設A1B1、A2B2,A1C1、A2C2,B1C1、B2C2分別交於點P、Q、R,則P、Q、R3點共線。

相關定理

定理2對任意素數冪q,
是Desargues平面。
存在非Desargues平面,見下例。
【例1】設n=9,9階射影平面是一個
。在
上構造一個9階射影平面。為方便計,把V中的元素(i,j)記作
,作出
上的如下91條直線:
則由這些直線組成Z13×Z9上的一個9階射影平面π。今證在該平面中Desaugues定理並不成立。因若取
則直線
這3條直線交於點10。又直線
因此點
;直線
因此
;直線
因此點R=23。然而過點P、Q的直線為L66,它並不含點R。因此在該平面中Desaugues定理並不成立。

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