非線性數學，是數學科學的一個新的門類和學科體系。其是與傳統的線性數學體系相對應的、相對稱的數學領域。迄今為止的大部分數學學科，屬於線性數學領域。非線性數學的基礎，是傳統的線性數學。同時，非線性數學也有著與線性數學本質上不同的獨特理論和方法。一般認為，孤立波和湍流、混沌和分形等領域的數學，屬於非線性數學領域。非線性數學，必將成為未來數學的主流。
非線性數學，是用非線性數學理論和方法來研究非線性現象、解決非線性問題的數學理論體系，是研究非線性科學一般規律的基礎理論和數學工具。非線性數學，有一系列獨有的概念、定義、定理和方法。
非線性數學的研究對象，源自實踐和理論兩個方面，源自非線性現象、非線性問題和非線性科學。其有著複雜的數學關係、數學結構和數學性質。很多研究對象，呈現出良好的自相似性、對稱性和周期性。
非線性數學的基本方法，是基於研究對象的整體，從巨觀上認識規律、把握規律，具有綜合性、複雜性特徵。其不同於傳統的線性數學，局限於還原論的微觀分析，儘管需要借用離散化、線性化的處理方式和數學方法。
基本介紹
- 中文名：非線性數學
- 外文名：Nonlinear mathematics
非線性，是世界上的物質運動的本質屬性（線性是其特例）。近百年來，非線性問題層出不窮，引起了科學家的極大關注。
隨著人們對非線性現象的認識越來越深入，非線性物理、非線性動力學、非線性光學等非線性科學已經成為科學研究和技術進步的熱點領域，成為日漸龐大的學科體系。與之相應的數學，也在逐步發展。目前，混沌學、分形學、動力系統、微分方程等非線性數學領域進展迅速。
應該指出，當前的數學科學體系和內容，在很大程度上屬於線性數學範疇。客觀地講，在非線性領域，數學遠遠跟不上科學技術發展，滯後於現實需求，大多停留在以還原論思想指導下的藉助離散化、線性化方式來模型化、模擬化解決非線性問題的初級水平上。非線性數學，無論是在認識論角度上的理論基礎、基本概念、體系結構，還是在方法論角度上的技術路徑、定性分析、定量關係，均存在著很大發展空間。構建非線性數學體系，是一項任重道遠的宏偉工程。
當前的傳統線性數學，是未來的非線性數學的必要基礎。但傳統數學以往從微觀到微觀的發展路徑將會越走越窄，未來數學必須在巨觀上從整體去把握各個數學研究對象，提出新概念，創造新方法，形成新理論，構建新體系。
非線性數學，至少應包含以下各方面內容：
——非線性算術，即非線性數論，其基礎是經典同餘概念下的複合同餘性的研究，核心是滿足整性要求的條件疊代下的離散動力系統的研究內容，走的是非傳統數系逐步擴展的、保持整性的創新道路。這在原始和廣義克拉茨問題研究中，已經取得突破性成果。
——非線性代數，即非線性抽象代數，其核心是在元素分類、集合分解基礎上的非線性群、非線性環、非線性域等方面的研究。某些典型的非線性代數結構，均有很好的對稱性和數學性質。
——非線性幾何，自然應包括曼德勃羅的以分數維研究為重點的分形幾何學。
——非線性方程，從非線性觀點開展各類常微分方程和偏微分方程的研究，在尋求公式解和近似解之間打開新的通路。其中，各類不動點（系）和極限環是方程解的穩定性研究的重點。
——非線性分析，即非線性數學分析，以非線性收斂性（包括非線性一致收斂、非線性絕對收斂）等概念為基礎，研究實數全域中的定義域（初值）分類和值域作為“收斂集合”的“動阻耦合”映射下的極限性質，將經典數學分析研究的微觀的點收斂、中觀的區間收斂，拓展到整體的全域（包括低維和高維空間）的收斂集合（其中包含各種形式收斂的子集合）；也應包含混沌學、波萊爾的測度論和魯濱遜的非標準分析等內容。需要指出的是，發展二維的非線性複分析，可能是通向黎曼猜想解決的途徑之一。
——非線性拓撲，重點研究滿足正則非線性條件的非線性同構、同胚和非整數（分數）虧格等方面的問題。
——非線性機率，包括非線性數學期望等方面的研究。
——非線性邏輯，即非線性數理邏輯，引入自相似結構模式歸納的非線性公理，構建非線性數學歸納法的公理基礎。
非線性數學的領域極為寬廣、內容極為豐富，尚待新一代數學工作者開拓創新、努力耕耘。可以構想，當非線性數學蓬勃發展之日，方為現代數學趨近成熟之時。
