如果方程F(x,y)=0能確定y是x的函式，那么稱這種方式表示的函式是隱函式。而函式就是指：在某一變化過程中，兩個變數x、y，對於某一範圍內的x的每一個值，y都有確定的值和它對應，y就是x的函式。這種關係一般用y=f(x)即顯函式來表示。F(x,y)=0即隱函式是相對於顯函式來說的。
基本介紹
- 中文名：隱函式
- 外文名：implicit function
- 套用學科：高等數學
- 適用領域範圍：數學分析
- 分類：數學
- 相關名詞：函式
定義,求導法則,推理過程,示例,
定義
隱函式是由隱式方程所隱含定義的函式。設F（x,y）是某個定義域上的函式。如果存在定義域上的子集D，使得對每個x屬於D，存在相應的y滿足F(x,y)=0，則稱方程確定了一個隱函式。記為y=y(x)。顯函式是用y=f(x)來表示的函式，顯函式是相對於隱函式來說的。
求導法則
對於一個已經確定存在且可導的情況下，我們可以用複合函式求導的鏈式法則來進行求導。在方程左右兩邊都對x進行求導，由於y其實是x的一個函式，所以可以直接得到帶有 y' 的一個方程，然後化簡得到 y' 的表達式。
隱函式導數的求解一般可以採用以下方法：
方法②：隱函式左右兩邊對x求導（但要注意把y看作x的函式）；
舉個例子，若欲求z = f(x,y)的導數，那么可以將原隱函式通過移項化為f(x,y,z) = 0的形式，然後通過（式中F'y,F'x分別表示y和x對z的偏導數）來求解。
推理過程
一個函式y=ƒ(x)，隱含在給定的方程
中，作為這方程的一個解（函式）。例如
如果不限定函式連續，則式中正負號可以隨x而變,因而有無窮個解；如果限定連續，則只有兩個解（一個恆取正號,一個恆取負號）；如果限定可微，則要排除x=±1，因而函式的定義域應是開區間(-1<x<1)，但仍然有兩個解;如果還限定在適合原方程的一個點(x,y)=( x0,y0)的鄰近範圍內，則只有一個惟一的解（當起點(x0,y0)在上半平面時取正號，在下半平面時取負號）。
可見，即使在隱函式y=ƒ(x)難於解出的情形，也能夠直接算出它的導數，唯一的條件是
隱函式理論的基本問題就是：在適合原方程(1)的一個點的鄰近範圍內，在函式F(x,y)連續可微的前提下，什麼樣的附加條件能使得原方程(1)確定一個惟一的函式y=ƒ(x)，不僅單值連續,而且連續可微，其導數由(2)完全確定。隱函式存在定理就用於斷定(3)就是這樣的一個條件，不僅必要，而且充分。
