鏈式法則

鏈式法則是微積分中的求導法則，用於求一個複合函式的導數，是在微積分的求導運算中一種常用的方法。複合函式的導數將是構成複合這有限個函式在相應點的 導數的乘積，就像鎖鏈一樣一環套一環，故稱鏈式法則。

基本介紹

• 中文名：鏈式法則
• 外文名：chain rule
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：微積分
• 適用領域範圍：微分（求導）

介紹

鏈式法則是求複合函式的導數（偏導數）的法則，若 I，J 是直線上的開區間，函式 f(x) 在 I 上有定義 處可微，函式 g(y) 在 J 上有定義 ，在 f(a) 處可微，則複合函式 在 a 處可微 ( 在 I 上有定義)，且 . 若記 u=g(y),y=f(x)，而 f 在 I 上可微，g 在 J 上可微，則在 I 上任意點 x 有

即 ，或寫出

這個結論可推廣到任意有限個函式複合到情形，於是複合函式的導數將是構成複合這有限個函式在相應點的 導數的乘積，就像鎖鏈一樣一環套一環，故稱鏈式法則。

基本信息

若多元函式 u=g(y₁,y₂,...,y_m) 在點 𝒃=(b₁,b₂,...,b_m) 處可微，b_i=f_i(a₁,a₂,...,a_n)(i=1,2,...,m)，每個函式 f_i(x₁,x₂,...,x_n) 在點 (a₁,a₂,...,a_n) 處都可微，則函式 u=g(f₁(x₁,x₂,...,x_n)，f₂(x₁,x₂,...,x_n),...,f_m(x₁,x₂,...,x_n)) 也在(a₁,a₂,...,a_n) 處可微，且

這就是多元函式的鏈式法則，若同時考察一組（p 個）複合函式 u₁,u₂,...,u_p，其中 u_k=g_k(f_i(x₁,x₂,...,x_n),f₂(x₁,x₂,...,x_n),...,f_m(x₁,x₂,...,x_n))(k=1,2,...,p)，將它們的偏導數寫成矩陣（雅可比矩陣)，則可以看到鏈式法則在形式上更有規律性，這時

若對於上面考察的這些函式，令 𝐠=(g₁,g₂,...,g_p)，𝒇=(f₁,f₂,...,f_m)，於是，𝐠 是 p 維向量值函式（定義與 𝑹^m 的子集上），𝒇 是 m 維向量值函式（定義於𝑹ⁿ 的子集上），按照定義，它們的導數是相應的雅可比矩陣，

（等式右端為兩矩陣𝐠‘ (𝒇 (𝒂)) 與𝒇‘ (𝒂) 的矩陣乘積），其中𝒂=(a₁,a₂,...,a_n).這就是向量值函式的鏈式法則，它在形式上與一元函式的鏈式法則完全相同。

例題

求導

鏈式求導：令

則 即可求得。

在實際套用中，可將 看作是分數的約分過程，這種用法在求不定積分中會更廣泛地使用。