隱函式定理

在數學中，隱函式定理是一個描述關係以隱函式表示的某些變數之間是否存在顯式關係的定理。隱函式定理說明，對於一個由關係R(x,y)=0表示的隱函式，如果它在某一點附近的微分滿足某些條件，則在這點附近， y可以表示成關於x的函式：

y=f(x)

這樣就把隱函式關係變成了常見的函式關係。

基本介紹

• 中文名： 
• 外文名：theorem of implicit function
• 定義：描述某些變數間是否存在顯式關係
• 套用學科：微積分
• 相關術語：隱函式
• 所屬領域：數學

例子

定義函式 ，那么方程 的所有解的集合構成單位圓。

（ ）。圓上的點是無法用統一的方法表示成 的形式的，因為每個 都有兩個 y的值與之對應，即 。

然而，局部地用 x來表示y是可以的。給定圓上一點 ，如果y>0，也就是說這點在圓的上半部分的話，在這一點附近y可以寫成關於x的函式： 。如果y<0，附近的y也可以寫成關於x的函式： 。

但是，在點(1,0)的附近，y無法寫成關於x的函式，因為(1,0)的每一個鄰域中都包含了上半圓和下半圓的點，於是對於附近的每一個x，都有兩個 y的值與之對應。

定理的敘述

設f:R→R為一個連續可微函式。這裡R被看作是兩個空間的直積：R×R，於是R中的一個元素寫成 (x,y)=(x₁,...,x_n,y₁,...,y_m)的形式。

對於任意一點(a,b)=(a₁,...,a_n,b₁,...,b_m)使得f(a,b)=0，隱函式定理給出了能否在(a,b)附近定義一個y關於x的函式g，使得只要：f(x,y)=0，就有y=g(x)的充分條件。這樣的函式g存在的話，嚴格來說，就是說存在a和b的鄰域U和V，使得g的定義域是：g:U→V，並且g的函式圖像滿足：

隱函式定理說明，要使的這樣的函式g存在，函式f的雅可比矩陣一定要滿足一定的性質。對於給定的一點 (a,b)， f的雅可比矩陣寫作：

其中的矩陣X是 f關於 x的偏微分，而Y是f關於y的偏微分。隱函式定理說明了：如果Y是一個可逆的矩陣的話，那么滿足前面性質的U、 V和函式 g就會存在。概括地寫出來，就是：

設f:R→R為連續可微函式，並令R中的坐標記為 (x,y)。給定一點 (a₁,...,a_n,b₁,...,b_m)=(a,b)使得f(a,b)=c，其中c∈R。如果矩陣[(∂f_i/∂y_j)(a,b)]是可逆矩陣的話，那么存在a的鄰域U、b的鄰域V以及同樣是連續可微的函式g:U→V，滿足

一般情形

設 E₁、E₂和F是三個巴拿赫空間，而U、V分別是E₁、E₂上的兩個開集。設函式：

是一個C^k的函式（見光滑函式），其中 ，並且對於 中的一點 ，滿足：

那么有如下結論：

存在 的鄰域以及 的鄰域；

存在一個 的函式： ，使得對任意 ，只要 f(x,y)=0，就有 。