線性獨立

線性獨立一般是指向量的線性獨立，指一組向量中任意一個向量都不能由其它幾個向量線性表示。

基本介紹

• 中文名：線性無關
• 外文名：linearly independent
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：線性表示、線性相關、線性相依等

概念引入

例如，一個運輸企業Y有n輛汽車，那么Y(在單位時間)的收入(記為)可表為

這是個線性函式，其係數表示各自的貢獻率，可以為0或負數，比如可表企業的定常支出等。這時則說(企業內)各車之間的關係是線性的。

特別地，所謂“線性關係”的本質就是“獨立關係”(又叫線性獨立)，因為這時任何一輛車的“貢獻”大小和有無(即其係數取正負、大小及是否取0等)皆與別的車無關。

定義

若有m+1個n維不全為零的向量

如果其中第個向量可以寫成

這裡為常數，則稱這m+1個向量之間存在著線性關係；又稱這m+1個向量線性相關；或稱是的線性表出。當然，由上式可知若這m+1個向量是線性相關的，必可寫成

這裡必不全為零。

顯然，若這m+1個向量不能夠寫成上面兩個式子的形式，或者換個說法只有當的情況下以上兩式才成立，則稱這m+1個向量是線性獨立的。

舉例說明

例如有以下三個向量

它們是線性相關的，因為A可以由B、C線性表出，即 A=2B+C。

若將A向量除去，向量B與向量C則是線性獨立的，這是因為B≠kC，k為任意常數．或者說只有才能使得

成立，所以B與C是線性獨立的。

關係

線性獨立與矩陣秩的關係

不難證明若有階矩陣

如果它的n個行(列)向量是線性獨立的，則該方陣的秩為n，反之如果其n個行向量或n個列向量是線性相關的，則其秩一定小於n，綜上所述，可得定理如下：

定理1

n×n階矩陣秩為n的充分必要條件是n個行向量或n個列向量是線性獨立的。

讓我們以矩陣

為例，對以上定理加以驗證．由於該矩陣的三個行向量是線性相關的，故以-2乘第二行向量，以-1乘第三行向量，然後都加到第一行上去，則得到第一行全為零的矩陣

故該矩陣的秩小於n，反之，若矩陣的n個行向量或列向量是線性獨立的，則無論怎樣進行初等變換，也不可能將它變成某一行或某一列為零向量的形式，例如矩陣

就是這樣的，該矩陣滿秩，秩等於3。

定理2

設A為m×n階矩陣，如果rankA=r，則其m個行向量中有r個是線性獨立的，其他(m—r)個行向量可用其線性組合表出。此外n個列向量中也有r個是線性獨立的，其它(n-r)個列向量亦可用其線性組合表出。

由此可知，A矩陣的秩的數目就是A矩陣的最大的線性獨立的行(列)向量的數目。例如

因為該矩陣的位於左上角的二階子行列式

而所有3階子行列式皆等於零，故

則其第一列和第二列是線性獨立的，第三列，第四列可以用第一列與第二列線性組合來表示，即

由定理2直接可推斷出以下定理。

定理3

設A為m×n階矩陣，又已知m≤n，如果其中m個行向量是線性獨立的，則A矩陣有最大可能的秩，其秩為m。如果n≤m，若其中n個列向量是線性獨立的，則A矩陣有最大可能的秩，其秩為n。

如果A矩陣具有最大可能的秩，即rankA=min(m，n)，則稱A矩陣為最大秩矩。