柯西方程

定義與性質

柯西方程是函式方程

f(x+y)=f(x)+f(y)

此方程的解稱為加性函式，在有理數定義域上，利用初等代數我們很容易得出有一組函式滿足條件，是f(x)=cx,其中c是任意實數。定義域是實數時，同樣有一族函式滿足條件，但有些是極其複雜的，所以我們需要更多的條件得到f(x)=cx，以下條件可得f(x)是正比例函式：

◎f是連續函式（在1821年已被柯西證明），後來在1875年被達布將條件減弱為f在某點連續。

◎存在a,b∈R,(a<b),函式在(a,b)有界

◎f單調，或f在某開區間單調。

◎存在ε1>0,使得x∈[0,ε1],有f(x)≥0,或者存在ε2>0,使得x∈[0,ε2],有f(x)≤0

另外，如果沒有其他條件的話，（假如承認選擇公理成立），那么有無窮非f(x)=cx的函式滿足該條件,這是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的概念證明的。

希爾伯特第五問題是該方程的推廣

存在實數c使得f(cx)≠cf(x)解稱為柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希爾伯特第三問題中，從3-D向高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變數（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。

y=0,那么有f(x+0)=f(x)+f(0),即f(0)=0

y=-x,那么由f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)=-f(-x)

利用數學歸納法,可知f(nx)=nf(x)

將x用x/n代替，那么有

f(nx/n)=nf(x/n)=f(x)

任意有理數m/n,有

f((m/n)x)=mf(x)/n

以上合起來，就是任意q∈Q，α≠0有

f(αq)=qf(α),取α=1,可得f(q)=qf(1),得證。

由於函式連續，且有理數稠密，不難說明f(x)=xf(1)在x為任意實數上成立（利用有理數逼近）。

定義函式g(x)=f(x)-f(1)x,顯然g是實值函式。

由於g(x+y)=f(x+y)-f(1)(x+y)=(f(x)-f(1)x)+(f(y)-f(1)y)=g(x)+g(y)

所以g(x)也是滿足柯西函式方程的函式

因此任意q∈Q,我們有g(qx)=qg(x)

由於f在(a,b)上有界，那么設界為M，即任意x∈(a,b),有|f(x)|≤M

那么由於|x|≤max(|a|,|b|),有任意x∈(a,b),

|g(x)|=|f(x)-f(1)x|≤|f(x)|+|f(1)||x|≤M+max(|a|,|b|),即g在(a,b)有界

由於任意x不在(a,b),有有理數q，使得x-q∈(a,b),