如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關係可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的遞推公式。
基本介紹
- 中文名：遞推公式
- 外文名：recurrence relation
- 拼音：dì tuī gōng shì
- 所屬：數列
- 學科：數學
- 類型：等差等比
遞推列,等比數列,等比公式,等差數列,
概念
等比數列遞推公式：bn=q(n-1)*b （q為公比 b為首項）
由遞推公式寫出數列的方法：
1. 根據遞推公式寫出數列的前幾項，依次代入計算即可；
2.若知道的是末項，通常將所給公式整理成用後面的項表示前面的項的形式。
遞推列
亦稱遞歸列。由前面的項能推出後面的項的數列。指對所有n>p，滿足形如an=f(an-1，an-2，…，an-p)的關係式的序列{an}，其中f為某個函式。p是某個固定的正整數，a1，a2，…，ap為已知數。p稱為這個遞推列的階數.上述關係式稱為遞推公式，給定a1，a2，…，ap，可以從它得到所有an。形如an+c1an-1+c2an-2+…+cpan-p=0(c1，c2，…，cp是常數)的遞推公式稱為線性遞推公式，相應的序列稱為線性遞推列。最簡單的遞推列是一階遞推列，即滿足an=f(an-1)的序列{an}.它又稱疊代列。等差數列與等比數列都是線性的疊代列。
等比數列
等比數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的比值等於同一個常數的一種數列，常用G、P表示。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠ 0。其中{an}中的每一項均不為0。註：q=1 時，an為常數列。
等比公式
（1）定義式：
（2）通項公式（等比數列通項公式通過定義式疊乘而來）：
（3）求和公式：
求和公式用文字來描述就是：Sn=首項（1-公比的n次方）/1-公比（公比≠1）如果公比q=1，則等比數列中每項都相等，其通項公式為
，任意兩項
，
的關係為
；在運用等比數列的前n項和時，一定要注意討論公比q是否為1.
（4）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：
（5）等比中項：
若
，那么
為
等比中項。
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
等比中項定義：從第二項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與後一項的等比中項。
等比中項公式：
或者
。
（6）無窮遞縮等比數列各項和公式：
無窮遞縮等比數列各項和公式：公比的絕對值小於1的無窮等比數列，當n無限增大時的極限叫做這個無窮等比數列各項的和。
等差數列
從第二項起，每一項都等於前一項加上同一個數d的有限數列或無限數列。又叫算術數列.這個數d稱為等差數列的公差。
等差數列從第二項開始每一項是前項和後項的算術平均數。
如果等差數列的公差是正數，則該等差數列是遞增數列；如果等差數列的公差是負數，則該數列是遞減數列；如果等差數列的公差等於零，則該數列是常數列。
對於一個數列al，a2，…，an，…，如果它的相鄰兩項之差a2-a1，a3-a2，…，an+1-an，…構成公差不為零的等差數列，則稱數列{an}為二階等差數列。
運用遞歸的方法可以依次定義各階等差數列：對於數列{an}，如果{an+1-an}是r階等差數列，則稱數列{an}是r+1階等差數列.二階或二階以上的等差數列稱為高階等差數列。
r階等差數列的通項公式可以用一個關於項數n的r次多項式來表示，反之，通項公式為項數n的r次多項式的數列必為r階等差數列。
