不動點法

設含有n個未知數與n個方程的非線性方程組為F(x)=0，然後把方程組改為便於疊代的等價形式x=ψ(x)，由此就可以構造出不動點疊代法的疊代公式為x^k+1=ψ(x^k)，如果得到的序列{x^k}滿足lim_(k→∞)x^k=x*，則x*就是ψ的不動點，這樣就可以求出非線性方程組的解。

基本介紹

• 中文名：不動點法
• 外文名：fixed point method
• 所屬領域：數理科學
• 套用：研究方程解的存在、唯一性和計算
• 相關概念：不動點定理、運算元方程等

方法簡介

不動點法(fixed point method)是解方程的一種一般方法，對研究方程解的存在性、唯一性和具體計算有重要的理論與實用價值。數學中的各種方程，諸如代數方程、微分方程和積分方程等等，均可改寫成的形式，其中是某個適當的空間中的點，是從到的一個映射，把點變成點。於是，方程的解就相當於映射在空間中的不動點。這一方法把解方程轉化為求某個映射的不動點，故而得此名。其優點在於可以把幾何、拓撲和泛函分析中較深刻的工具套用於方程論。

舉例說明

例如，為求常微分方程初值問題

的解，可以先把它化為一個等價的伏爾泰拉(Vito Volterra)型積分方程

如果把區間上的所有連續函式x的全體在範數下的空間記為X，從X到X的運算元T定義為

則積分方程(2)相當於運算元方程。於是原初值問題(1)就轉化成求在中的不動點的問題了。而後者可以利用拓撲或泛函分析中的不動點定理來解決。至於各種微分方程的邊值問題可以套用格林(Green)函式化成弗雷德霍姆(Fredholm)積分運算元的不動點問題。

注意點

在套用不動點方法研究方程的解時有兩個重要的準備工作。一是把方程化成合適的運算元方程；二是選擇合適的空間並在其中找方程的解。（可參考上述例題理解）。

不動點定理

常用的不動點定理有巴拿赫(Banach)不動點定理，布勞威爾(Brouwer)不動點定理和紹德爾(Schauder)不動點定理等等。

Banach不動點定理

設是完備的距離空間，是壓縮映射，則有惟一的不動點，即存在惟一的，使。

Brouwer不動點定理

設是緊凸集，映射是連續的，則有不動點，即存在，使。

後來，Schander把Brouwer不動點定理推廣到空間為無窮維的情形，Kakutani又把Brouwer不動點定理推廣到集值映射的情形。

Schauder不動點定理

設X是實的Banach空間，是有界閉凸集，全連續運算元映到自身，即，則存在，使。

Kakutani不動點定理

設是凸緊集，集值映射是上半連續的，且對任，是中的非空凸集，則有不動點，即存在，使。