自同構群是一種特殊的群。指群自身的映射所構成的群。群G的所有自同構在映射的合成運算下構成的一個群，稱為群G的自同構群，常記為Aut(G)。
外自同構群Out(G)是自同構群Aut(G)對內自同構子群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。群G的不是內自構的自同構稱為外自同構。外自同構群的元素一般不是自同構。
基本介紹
- 中文名：外自同構群
- 外文名：External isomorphism group
- 領域：代數
- 性質：商群
- 對應概念：內自同構群
- 特點：群的元素一般不是自同構
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簡介
G的一個自同構如不是內自同構，便稱為外自同構。外自同構群Out(G)的元素是G的內自同構子群Inn(G)在自同構群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同構，而是可對應到某外自同構加上任何內自同構，因此不能定義G的外自同構群於G上的作用。不過因為內自同構都將群G的元素映射到同共軛類的元素，所以可定義出外自同構群在G的共軛類上的作用。
然而，若G為阿貝爾群，則G的內自同構子群是平凡子群，於是Out(G)可以自然地等同於Aut(G)，即是Out(G)的每個元素都對應唯一的自同構，因此Out(G)可以作用於G上。（而這時G的共軛類也各僅有一個元素。）
內自同構
內自同構是一類特殊的自同構。若g是群G中一個元，則映射：
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
同構
兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射，並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題，從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。
自同構群
自同構群是一種特殊的群。指群自身的映射所構成的群。群G的所有自同構在映射的合成運算下構成的一個群，稱為群G的自同構群，常記為Aut(G)。
