代數對偶

代數對偶(algebraic duality)是射影幾何的一個術語，即採用齊次坐標後，用雙線性齊次方程表示圖形的對偶性，例如在二維射影空間，方程u₁x₁+u₂x₂+u₃x₃=0表示直線[u₁，u₂，u₃]的方程，其上的動點為(x₁，x₂，x₃)，方程x₁u₁+x₂u₂+x₃u₃=0是點(x₁，x₂，x₃)的方程，過該點的動直線為[u₁，u₂，u₃]，而點和直線是二維射影空間的對偶元素。同理，在三維射影空間，方程α₁x₁+α₂x₂+α₃x₃+α₄x₄=0表示平面[α₁，α₂，α₃，α₄]的方程，其上的動點為(x₁，x₂，x₃，x₄)，方程x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0表示點(x₁，x₂，x₃，x₄)的方程，過這點的動平面為[α₁，α₂，α₃，α₄]，而點和平面是三維射影空間的對偶元素。

基本介紹

• 中文名：代數對偶
• 外文名：algebraic duality
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)

基本介紹

由於射影平面有獨特的結構因而有對偶原則，代數對偶是指在已知坐標系下點和直線的坐標或方程為基本代數對偶，並由此可得到點和直線的一些幾何性質的代數對偶。

在點幾何里，點有坐標，直線有方程，而線上幾何里，直線有坐標，點有方程。我們看到，說明點與直線結合關係的形如u₁x₁+u₂x₂+u₃x₃=0的式子，現在可以有兩種不同的解釋.

(1) 是變數， 是定數， 這時上式說明，動點 在定直線 上，這個式子是直線的方架，直線當作點的軌跡。

(2) 是變數， 是定數，這時，上式說明動直線 通過定點 ，這個式子是點的方程，點當作直線的包絡。

對於方程的不同解釋表明在射影平面上點與直線處於同樣的地位(即關於點的坐標 與直線的坐標 是完全對稱的)，從而體現了它們的代數對偶性質。

舉例說明

在齊次點坐標的套用中，諸定理都具有代教對偶性，根據對偶原則，我們只需要證明對偶的兩定理中的一個定理，另一個定理可不需證明而承認其正確性。

如以下定理，它們的結論在形式上的對偶性如下所示，這可以給解題帶來許多方便。

為了簡便起見，把一點叫做點，記以，把一直線叫做直線，記以。

定理1 兩點a，b重合的充要條件是矩陣的秩為1。	定理1' 兩直線α=0,β=0重合的充要條件是矩陣的秩為1。
定理2兩個不同點a, b的連線的齊次方程是(簡記為|xab|=0)。	定理2'兩條不同直線α=0，β=0的交點的齊次坐標是。
定理3 三個不同點共線的充要條件是其坐標所構成矩陣或其方程係數方陣的秩是2。即：三個不同點a, b, c共線的充要條件是，或的秩為2。	定理3' 三條不同直線共點的充要條件是其坐標所構成矩陣或其方程係數方陣的秩是2。即：三條不同直線α=0, β=0, γ=0共點的充要條件是，或的秩為2。
定理4 以兩個不同點a與b的連線為底的點列的點的坐標能且僅能寫作la+mb 。或以兩個不同點α=0與β=0的連線為底的點列的點的方程能且僅能寫作lα+ mβ= 0，這裡l，m為不全為零的常數。	定理4' 以兩條不同直線a與b的交點為中心的線束的直線的坐標能且僅能寫作la+ mb 。或以兩條不同直線α=0與β=0的交點為中心的線束的直線的方程能且僅能寫作Iα+mβ=0，這裡l，m為不全為零的常數。
推論 三個不同點a,b,c共線的充要條件是：有三個全不為零的常數p，q，r使pai+ qbi+rci= 0，或三個不同點α= 0，β=0，γ=0共線的充要條件是: 有三個全不為零的常數p，q， r而使pα+qβ+rγ= 0。	推論 三條不同直線a，b，c共點的充要條件是：有三個全不為零的常數p, q,r使pai+ qbi+rci= 0或三條不同直線α= 0，β=0，γ=0共點的充要條件是有三個全不為零的常數p，q， r使pα+qβ+rγ= 0。

以上定理都已證明過左邊部分，右邊部分根據代數對偶性可以不需證明而承認其正確性。