一維射影對應

一維射影對應(one-dimensional projective correspondence)是透視對應的推廣，兩個一維基本形(點列或線束)間的一一對應是射影對應的充分必要條件是任何四元素的交比與其對應的四元素的交比相等，兩個一維基本形間的射影對應是透視對應的充分必要條件是它們的公共元素自對應。

基本介紹

• 中文名：一維射影對應
• 外文名：one-dimensional projective correspondence
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等幾何(射影幾何)

基本介紹

設有點列 ， 關於各自的一維射影坐標系的坐標分別為 及 ，則滿足

由點列 到 的一一映射 ，叫做由 到 的射影對應，記作 。

對偶地，可以定義線束 到 的射影對應。兩點列間和兩線束間的射影對應統稱為一維射影對應，

顯然，一維射影對應(1)的逆對應也是一維射影對應。

特別地，稱直線 到自身的射影對應為直線 上的射影變換，這時(1)中 與 認為是任一對對應點關於同一坐標系的坐標。

只要適當選擇坐標系，一維射影對應式(1)可化為更簡單的形式。

相關定理及證明

定理1 設 為點列 到 的射影對應，則對於 上任意確定的射影坐標系，必存在'上的一個射影坐標系，使得 了表示為

證：設對於上某個射影坐標系可表示為

由定理知在'上必存在射影坐標系，使上任一點x'在下的坐標之間滿足關係式

由(1')，(2')知與間必滿足(2)，其中。

定理2 兩點列間的射影對應保持四點的交比不變（以下簡稱為“保交比”）；反之，兩直線間保持交比不變的一一對應是射影對應。

推論 兩拓廣直線間的中心射影是射影對應。

定理3 兩點列間的射影對應由三對相異對應點唯一決定。

證 設上三相異點y，z，u分別對應上三相異點；又設分別是和上以y,z,u和y'，z'，u'為參考點的射影坐標，則到的射影對應，顯然使得y，z，u分別對應y'，z'，u'，故存在性得證。

另設射影對應也使y，z，u分別對應y'，z'，u'，把這三對對應點的坐標分別代入式(1)得

於是 。

從而的表達式與相同，故，唯一性得證。

推論 直線上的射影變換，若使三個點不變（即有三個固定點），則必為恆等變換。

附註一維射影對應式(3.1.1)的非齊次形式為

也可寫成的雙線性方程

一維射影對應的特徵性質是一一對應保交比，也可說成是一一對應保調和比，事實上有下述定理。

定理4 一個把直線上的點變為直線上的點的一一對應，若把調和共軛的四個點變成調和共軛的四個點，則這個對應是射影對應，該定理稱達布(Darboux)定理。