有限射影平面:射影平面,射影平面的定義,一些例子,擴展歐氏平面,投影莫爾頓平面,有

有限射影平面(finite projective plane)一類組合構形，指二維有限射影空間。

基本介紹

中文名：有限射影平面
外文名：finite projective plane

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射影平面

在數學里，射影平面（projectiveplane）是一個延伸平面概念的幾何結構。在普通的歐氏平面里，兩條線通常會相交於一點，但有些線（即平行線）不會相交。射影平面可被認為是個具有額外的“無窮遠點”之一般平面，平行線會於該點相交。因此，在射影平面上的兩條線會相交於一個且僅一個點。

文藝復興時期的藝術家在發展透視投影的技術中，為此一數學課題奠定了基礎。射影平面的典型範例為實射影平面，亦稱為“擴展歐氏平面”。此一範例在代數幾何、拓撲學及射影幾何內都很重要，在各領域內的形式均略有不同，可標計為PG(2,R)、RP或P₂(R)等符號。還有許多其他的射影平面，包括無限（如復射影平面）與有限（如法諾平面）之類型。

射影平面是二維射影空間，但並不是所有射影平面都可以嵌入三維射影空間內。射影平面是否能嵌入三維射影空間取決於該平面是否為笛沙格平面。

射影平面的定義

射影平面由一組線、一組點，以及一個點與線之間的重合關係所組成，並具有以下性質：

給定任意兩個不同的點，恰有一條線會重合這兩個點。
給定任意兩條不同的線，恰有一個點會重合這兩條線。
存在四個點，使得沒有線可以重合兩個以上的這些點。

第二個條件意指不存在平行線。最後一個條件則排除了“退化”的情況。“重合”一詞用來強調點與線之間關係的對稱性質。因此，使用“點P重合線l”來替代“P位於l上”或“l通過P”。

一些例子

擴展歐氏平面

將一般的歐氏平面變換成射影平面的步驟如下：

將每組平行線附加上一個新的點。該點可被視為重合該組的每條線。不同組平行線會得到不同的點。這些點被稱為無窮遠點。
增加一條線，讓該線視為重合所有（且只有）無窮遠點。該線被稱為無窮遠線。

該擴展結構即為射影平面，並被稱為“擴展歐氏平面”或“實射影平面”。上述用來得到射影平面之步驟稱之為“投影完備”或投影化（projectivization）。該平面亦可由將R³視為向量空間來建構。

投影莫爾頓平面

以一般的坐標表示，所有莫爾頓平面的點都是歐氏平面上的點。要從歐氏平面造出莫爾頓平面，有些線須被重新定義。亦即，部分點組成的集合將會改變，但其他的線則會維持不變。重新定義所有具負斜率的線，使這些線上的點在負x坐標（y軸左邊）時維持原來的點，但在正x坐標（y軸右邊）時以具相同的y軸截點但為兩倍斜率之線上的點取代之，看起來就像是個“彎曲”的線。

莫爾頓平面有平行線，且為仿射平面。該平面可被投影化，如同前面的例子一般，以獲得“投影莫爾頓平面”。笛沙格定理不論是在莫爾頓平面或投影莫爾頓平面上都不是個有效的定理。

有限的範例

此一範例只有13個點及13條線，點標記為P₁、…、P₁₃，而線則標記為m₁、…、m₁₃。其重合關係（哪個點在哪條線上）可由以下重合矩陣給出。該矩陣的行由點標記，列由線標記。在行i及列j上的值1意指點P_i位於線m_j之上，而0（此處為了便於閱讀而留白）則意指點與線沒有重合。該矩陣為霈橘-韋克斯勒範式。

	m₁	m₂	m₃	m₄	m₅	m₆	m₇	m₈	m₉	m₁₀	m₁₁	m₁₂	m₁₃
P₁	1	1	1	1
P₂	1				1	1	1
P₃	1							1	1	1
P₄	1										1	1	1
P₅		1			1			1			1
P₆		1				1			1			1
P₇		1					1			1			1
P₈			1		1				1				1
P₉			1			1				1	1
P₁₀			1				1	1				1
P₁₁				1	1					1		1
P₁₂				1		1		1					1
P₁₃				1			1		1		1

為證明此一範例符合射影平面的條件，可觀察每兩行都恰有一個共同的列出現1（每對不同點會重合唯一條線），且每兩列都恰有一個共同的行出現1（每對不同線會重合唯一個點）。對許多的可能性，舉點P₁、P₄、P₅及P₈為例，都會滿足第3個條件。這個範例被稱之為“三階射影平面”。

子平面

概述

射影平面的子平面是指該平面上點的子集，使其可組成具相同重合關係的射影平面。

理察·于貝爾·布魯克於1955年證明下列定理。令Π為N階有限射影平面，且具M階的純子平面Π₀，則N=M²或N≥M²+M。

當N為完全平方數時，{\displaystyle{\sqrt{N}}}階的子平面稱之為“貝爾子平面”（Baersubplanes）。每個平面上的點均處於貝爾子平面的一條線上，且每條平面上的線均包含一個貝爾子平面上的點。

在有限笛沙格平面PG(2,pⁿ)里，其子平面的階為有限域GF(pⁿ)子域的階，亦即為pⁱ，其中i為n的約數。而在非笛沙格平面上，布魯克定理可給出與子平面的階有關的唯一訊息。該定理中不等式仍不知其為等式時的條件為何。是否在N階子平面里存在一個M階子平面，使得M²+M=N，這仍是個未解的問題。若此類子平面存在，則必為合數（非素數）階的射影平面。

法諾子平面

法諾子平面是指一個同構於PG(2,2)的子平面，該平面為唯一的二階射影平面。

若考慮法諾平面上的一個“四邊形”（4個點，沒有3點共線），這些點可決定平面上的6條線。其他3個點（稱為該四邊形的“對角點”）為這6條線相交於四邊形頂點外的其他點。第七條線則包含所有的對角點（通常繪成圓形或半圓形）。

將該子空間以“法諾”為名其實是一種誤稱。基諾·法諾（1871年-1952年），在發展一套新的歐氏幾何公理時，將任一四邊形的對角點絕不會共線作為其中的一個公理。這即是所謂的“法諾公理”。不過，法諾子平面其實違反了法諾公理，因此應該被稱為“非法諾子平面”，但這個名稱沒有獲得太多人的支持。

在有限笛沙格平面PG(2,q)里，法諾子平面存在若且唯若q為偶數（亦即為2的次方）。此一條件在非笛沙格平面里是不確定的。法諾子平面可能存在於任一6階以上的非笛沙格平面內，而事實上，在所有曾被找過的非笛沙格平面（無論是奇數或偶數階）內，均被發現含有法諾子平面。

仿射平面

歐氏平面的投影化能產生實射影平面。相反的操作，從射影平面開始，移除一條線及所有與該線重合的點，可得到仿射平面。

定義

更形式化地說，仿射空間由一組線、一組點，及一個點與線間的重合關係，並具有下列性質：

給定任意兩個不同的點，恰有一條線重合兩個點。
給定任意直線l及任意不與l重合的點P，恰有一條與P重合，且不與l相交的線。
存在4個點，使得沒有線能重合兩個以上的這些點。

第2個條件指存在平行線，並被稱為普萊費爾公理。該條件內的“不相交”為“不存在重合兩條線的點”之簡寫。

歐氏平面與莫爾頓平面均為無限仿射平面的例子。有限射影平面在移除一條線或該線上的點後，會形成一個有限仿射平面。有限仿射平面的階為該平面上任一線的點之數量（其數值會與其由來之射影平面的階相同）。由射影平面PG(2,q)形成的仿射平面標記為AG(2,q)。

存在N階射影平面，若且唯若存在N階仿射平面。當只有一個仿射平面為N階時，亦只會有一個射影平面為N階，但反之不一定正確。移除射影平面上不同的線所形成的仿射平面間會同構，若且唯若移除的線在射影平面直射變換群屬同一軌道。這些敘述在無限射影平面時亦成立。

從仿射平面建構射影平面

K上的仿射平面K²可透過將仿射（非齊次）坐標映射至齊次坐標來嵌入KP²，

其像的互補為(x₁,x₂,0)形式的點。從剛才所給的嵌入之觀點來看，這些點為無窮遠點，會構成KP²內的一條線，即該線由K³內的平面

所形成，稱之為無窮遠線。無窮遠點是平行為在建構擴展實平面時會增加的“額外”點；其中，點(x₁,x₂,0)即為所有斜率為x₂/x₁的線會相交之點。例如，考慮兩條在仿射平面K上的線：

這兩條線的斜率均為0且不相交。可透過上述的嵌入將這兩條線視為KP的子集，但這些子集並不是KP的線，還需要在每個子集上加入點(1,0,0)；亦即，讓：

上面兩個集合才是KP²內的線。ū由K³內的平面

所形成；而ȳ則由平面

所形成。

投影線ū與ȳ相交於(1,0,0)。事實上，所有在K²內斜率為0的線，當以上述方式投影化後，均會相交於KP²內的點(1,0,0)。

當一仿射平面不具有K為除環之K²形式時，仍能被嵌入於一射影平面內，但上面所用之建構並無法生效。為執行此類嵌入的一個常用方法涉及擴展仿射坐標的集合，並需作用於更一般的“代數”內。

退化平面

退化平面不符合射影平面定義的第三個條件。退化平面在結構上不夠雜復到足以有趣，但不時會作為一般論述的特例出現。共有7個退化平面（（Albert&Sandler1968））如下：

空集合;
一個點，沒有線；
一條線，沒有點；
一個點，一組線，該點重合所有的線；
一條線，一組點，該線重合所有的點；
點P重合線m，任意（亦可能沒有）條線均與P重合，且任意個點均與m重合；
點P不重合線m，任意（亦可能沒有）條線均與P重合，且任意個點均與m重合。

這7種情形並不是完全獨立的，第4種與第5種情形可視為第6種情形之特例，第2種與第3種情形則可分別視為第4種與第5種情形之特例。第7種情形可因此被分成兩類退化平面如下（下述表示為有限退化平面之情況，但亦可自然地擴展至無限多）：

1)對任意多點P₁,...,P_n，及線L₁,...,L_m，

L₁={P₁,P₂,...,P_n}
L₂={P₁}
L₃={P₁}
...
L_m={P₁}

2)對任意多點P₁,...,P_n，及線L₁,...,L_n（點與線的數量一樣），

L₁={P₂,P₃,...,P_n}
L₂={P₁,P₂}
L₃={P₁,P₃}
...
L_n={P₁,P_n}