基本介紹
- 中文名：有限仿射空間
- 外文名：finite affine
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：組合學（組合設計）
- 簡介：一類組合構形
基本介紹,相關介紹,
基本介紹
有限仿射空間EG(n，q)中一條線上含q個點，共有qn個點，任一k維子空間含qk個點，以EG(n，q)中的全部k維子空間作為區組，可以得到一個(qn，qk，λ)-BIBD，其中
相關介紹
仿射空間
定義1 V是數域F上的向量空間，A是一個非空集合，稱A是V上的仿射空間，如果有一個從A×V到A的映射：(p，α)
p+α具有以下性質：
(1)對任意p∈A及V中的零向量0，p+0=p；
(2)對任意p，q∈A，存在唯一的向量α∈V，使得p+α=q；
(3)對任意p∈A，α，β∈V，p+(α+β)=(p+α)+β．
V上的仿射空間A也記作A(V)，其元素稱為點。
將A(V)的維數定義為向量空問V的維數，即dim A(V)一dim V，0維、1維、2維的仿射空間分別稱為點、仿射直線、仿射平面，比如A(E2)就是一個仿射平面。
對A中的任意兩點p，q，都存在唯一向量α，使得p+α=q。記α為
，稱p和q為α的起點和終點，因為p+0=p，所以
=0。另外，對A中的任意三點p，q，r，
例 1 數域F上的向量空間V也可以看成是自身上的一個仿射空間。此時，非空集合A就是V本身，V中的向量同時也看成點，點與向量的加法就定義為向量間的加法，它自然會滿足(1)-(3)。所以，每個向量空間同時也可視為一個仿射空間。特別地，Fn可視為向量空間Fn上的一個仿射空間。
定義2 A是向量空間V上的n維仿射空間，A中的一個點0和V的一個基ε1，ε2，…，εn稱為A的一個仿射坐標系，記為[o；ε1，ε2，…，εn]，點o稱為原點，向量
在這個基下的坐標稱為點P的仿射坐標。
有限射影空間
有限射影空間是一類組合構形，滿足以下公理的有限點集上的關聯繫統：1.對兩相異點，有且僅有一條線含這兩個點；2.若A，B，C是不共線的三點，D是含A，B的線上異於A的點，E是含A，C的線上異於A的點，則含D，E的線與含B，C的線含一個公共點F；3.每條線至少含三個相異點。
若射影空間的某個子集在含一條線上的兩個點時必含這條線上所有的點，則稱該子集為子空間.將點稱為零維子空間，線稱為1維子空間，由此可歸納地定義子空間的維數.若子空間Xn-1的維數為n-1，P是射影空間中不屬於Xn-1的一點，將含P及Xn-1中任一點的所有線上的點的全體記為Xn，則Xn是子空間，其維數定義為n.在n維射影空間中，2維子空間稱為平面，n-1維子空間稱為超平面.若某條線上含q+1個點，則每條線上都含q+1個點，此時稱射影空間是q階的.q階n維射影空間記為PG(n，q).將q元有限域上n+1維向量空間中的一維子空間取作“點”，2維子空間取作“線”，便得到n維射影空間PG(n，q)的一個例子.這樣的“點”可用一個n+1維的非零向量(x1，x2，…，xn+1)表示，當λ為有限域中非零元時，向量λ(x1，x2，…，xn+1)將表示同一個“點”.稱(x1，x2，…，xn+1)為射影空間中點的齊次坐標.PG(n，q)中共有
