鏈復形

概念

鏈復形(chain complex)是一種抽象的復形。設{C_q}_q∈Z是一族交換群和滿足∂_q°∂_q+1=0的一族同態{_q：C_q→C_q-1}_q∈Z，則由它們組成的C={C_q，_q}_q∈Z稱為一個鏈復形。同態∂q稱為鏈復形的邊緣運算元，群C_q及其子群：

Z_q(C)=ker∂_q，　B_q(C)=Im∂_q+1

分別稱為鏈復形C的q維鏈群及q維閉鏈群，q維邊緣鏈群，商群H_q(C)=Z_q(C)/B_q(C) (q∈Z)稱為鏈復形C的q維同調群。類似地可定義和討論與鏈復形有關的鏈映射、鏈同倫以及鏈復形的同調序列等同調理論。

從單純同調群和奇異同調群的理論可看出這些對象有許多共同特徵。比如它們都有一系列交換群，以及滿足∂q°∂q+1=0的一系列邊緣同態運算元。為了深入研究同調理論，有必要抽象出這些代數的概念。

復形常指上復形。上復形亦稱上鏈。一種特殊的模同態序列。設有A-同態序列：

這個序列的兩個方向都是無限的，若對每個整數n皆有dd=0，則稱序列(1)為環A上的上復形.把模同態d：X→X稱為上邊緣同態或上邊緣運算元。為簡便起見，用(X，d)代表復形序列(1).如果記X_n=X，d_n=d，則序列(1)可以表示為：

且d_nd_n+1=0，把序列(2)稱為環A上的復形或鏈，模同態d_n稱為邊緣同態或邊緣運算元。

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：

設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態，而並不因此就是么半群的同態)。

設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態。這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。