鏈同倫

同倫性是等價關係，不僅在代數拓撲中，在同調代數中也是非常重要的概念。

鏈同倫就是同調代數中來自拓撲學的一個重要概念，是從一個給定的鏈復形的所有鏈映射之間的一種等價關係。若h微由f到g的一個鏈同倫，這時稱f與g是同倫的。

基本介紹

• 中文名：鏈同倫
• 外文名：chain homotopy
• 適用範圍：數理科學

定義

鏈同倫是從一個給定的鏈復形的所有鏈映射之間的一種等價關係。

設和是鏈復形(C,∂)到鏈復形(C',∂')的兩個鏈映射。如果有一串同態使得對任何q都有則稱鏈同態f和g是鏈同倫的。這一串同態Dq 稱為f和q之間的鏈同倫。

性質

定理

若有，則。

推論

推論一

若都是復形映射，gf與同倫，fg與同倫，這裡與相應表示復形(A,d)與的恆等映射，則與同構。

推論二

設均為復形映射，且，則和也必同倫，其鏈同倫為。

鏈同倫等價

對於兩個鏈復形(C,∂)和(C',∂')，若存在鏈映射f:C→C'和g:C'→C使得和分別鏈同倫等價於C 和C' 的恆同鏈映射，則稱鏈復形(C,∂)和(C',∂')是鏈同倫等價的(chain homotopy equivalent) 。

鏈同倫和鏈同倫等價分別是映射的同倫和拓撲空間的同倫等價在鏈復形與鏈映射範疇中的體現。

例如，如果f和g是從拓撲空間X到拓撲空間Y的相互同倫的映射，那么它們導出的從X的奇異鏈復形的鏈映射是鏈同倫的；如果拓撲空間X和Y是同倫等價的，那么它們的奇異鏈復形是鏈同倫等價的。