正合序列

在數學中，正合序列、正合列或譯作恰當序列於同調代數中居於核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

基本介紹

• 中文名：正合序列
• 外文名：Exact sequence
• 所屬：數學數學
• 對象：正合序列、正合列或
• 地位：核心地位

定義

一個由某類適宜的範疇（例如阿貝爾群、向量空間或模，詳如後述）中的對象與態射構成的序列

被稱作在 處正合，若且唯若

一般而言，該範疇中的序列

被稱作是正合的，若且唯若它在 、 、 處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性，範疇中必須能構造一個態射的像 與核 ，並確保這兩種構造具備在阿貝爾群、向量空間或模的情形一樣的範疇論性質。處理這類問題的框架是阿貝爾範疇，以下考慮的範疇如未說明皆為阿貝爾範疇。

例子

1、序列

正合的充要條件是 是單射。

2、序列

正合的充要條件是 是滿射。

3、對任何態射 ，以下序列都是正合的：

注意：在群的範疇中，必須要求 在 中的像是正規子群才能考慮 ，故上述正合性對一般範疇不成立。

短正合序列

一個具下述形式的正合序列：

稱作短正合序列。

分裂短正合序列

若以下任一等價條件成立，則稱短正合序列 分裂：

1、有截面（即存在使得）。

2、有縮回（即存在使得）。

3、該短正合序列同構（在鏈復形的意義下）於

其中的箭頭是直和的典範映射。

對於群的範疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證可以表為與的半直積；例如我們可考慮群同態

其中是3次對稱群。由給出，它的像是交代群，商為；但無法分解成。

將正合序列拆解為短正合序列

正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

設

其中，這就給出了一個短正合序列

一般而言，設為鏈復形，我們同樣定義；此時鏈復形的正合性等價於所有短鏈的正合性。

推廣

給定一個短正合序列

有時也稱為經由的擴張。

長正合序列

若有鏈復形的短正合序列：

反覆運用蛇引理，可以導出正合序列：

對上鏈復形的上同調亦同，此時連線同態的方向是。這類序列稱作長正合序列，它是同調代數最重要的技術之一。在代數拓撲中，長正合序列與相對同調群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。

參見

• 正合函子
  
• 鏈復形