蛇引理

同調代數中,蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具,此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態

基本介紹

  • 中文名:蛇引理
  • 外文名:Snake lemma
  • 分類:同調代數
  • 領域:數理科學
敘述,引蛇出洞,構造連線同態,函子性,

敘述

考慮一阿貝爾範疇
(例如阿貝爾群或模的範疇)中的交換圖:
蛇引理
使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫
與上核的正合序列
此外,若
單射,則
亦然;若
'是滿射,則
亦然。

引蛇出洞

為了理解蛇引理的由來,觀察下圖:
蛇引理
並注意到:引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

構造連線同態

核間的同態與上核間的同態很容易構造,它們由該圖的交換性自然導出,正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連線同態
及序列在該處的正合性。
對於模範疇的情形,同態
可如是構造:
選定
,並視之為
的元素;由於
是滿射,存在
滿足
。由圖的交換性,我們有
(因為
於是
。由於底部的橫列正合,存在
使得
。置
。今須驗證
是明確定義的,即
不依賴
之選取;此外尚須驗證它是個同態,及序列的正合性。
一旦完成以上幾點驗證,即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形,可利用核與上核的泛性;此外也能使用Mitchell嵌入定理,此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環
-模範疇。

函子性

在套用上,我們常常需要長正合列的“函子性”或曰“自然性”(就自然變換意義言之);各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。
設交換圖
蛇引理
的橫列均為正合,則可利用蛇引理兩次,一次在“前”一次在“後”,產生兩條長正合序列;它們經由以下交換圖相連繫:
蛇引理

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