同調代數

同調代數是隨著拓撲學，特別是同調論的發展而形成的一種代數方法。它把代數學中以往作個別研究的一些問題，用統一的觀點給予強有力的展開，而形成作為一般體系的領域。這個方法是建立在範疇與函子的觀點之上的，它以不僅處理對象的內部結構，而且處理對象的機能結構為其特徵。同調代數是在第二次世界大戰後形成的新分支，它在廣泛的領域中都得到了套用。

基本介紹

• 中文名：同調代數
• 外文名：homological algebra
• 創始人：昂里·嘉當、格羅坦迪克等
• 形成時間：第二次世界大戰後
• 所屬領域：數學
• 性質：一種代數方法

發展介紹

同調代數(homologicai algebra)是代數學的一個重要分支，主要研究在代數對象的各種範疇(如給定環上的模、層等)上的導出函子，第二次世界大戰後形成的新的數學分支，在20世紀40年代發展起來。創始人為昂里·嘉當、格羅坦迪克、愛倫堡等。它是隨著拓撲學和同調論（同調群）的發展而形成的一種代數方法。它用範疇與函子的統一的觀點，把過去在代數學中分別研究的問題，加以統一的處理，形成一般的體系。其套用頗廣，對整個數學產生了相當大的影響。

最早出現的是群的上同調和同調，這是圍繞著解決赫維茨(波蘭代數拓撲學家)問題而引出的。這個問題的解決還導致波蘭一美國數學家艾倫伯格和美國數學家麥克萊恩在1945年引進了群的上同調群。與此同時，結合代數的上同調群，李代數的上同調理論也都被引進。這些理論於1956年為H．嘉當和艾倫伯格用範疇的語言統一起來，形成代數學的一個獨立分支。

基本知識

平行於代數拓撲，我們可以定義復形及其同調模。令R是有單位元的環，n∈Z， 是R模，則模與同態的序列

稱為一個復形，若 ，這一復形記作 叫作n循環， 叫作n邊緣。由復形的定義條件 ， 叫作第n個同調模。如果對任意整數n， ，換言之， ，則稱 是一個正合列。例如令M是任意R模， 是投射模 到M的一個滿同態。以 代替M，作投射模 到 的滿同態 ，...，由歸納法，得到一個正合序列：

使得M右邊的項皆為0，稱為M的投射分解。類似地，運用一個模到入射模的嵌入，可以得到模的入射分解。最後，若正合序列(M，d)中除三個互相連線的項外皆為0，即

即稱為短正合序列。這時 是單射， 是滿射，且 。同調代數的主要內容是研究Hom函子， 函子，及其導出函子Ext和Tor。現舉例說明如下：固定一個左R模A。Hom(A，-)： 是從左R模範疇到Abel群範疇的一個函子，任取左R模B，令

是B的一個投射分解。

是一個復形，這個復形的第n個同調模記作 ，且 。稱模E是模B藉助A的擴張，若有短正合列

也就是說，B是E的一個子模，而E對這一子模的商模恰好是A。兩個擴張E與E'稱為等價，若有交換圖

圖1

此處 必為模同構。這樣定義的等價是一個等價關係，令e(A，B)表所有等價類的集合，可以證明e(A，B)與 一一對應。

計算各種群、環或代數的上同調模與同調模是這門學科的重要研究課題。

套用領域

同調代數的語言，具有自然、清晰地表達信息的優越性，已被套用於代數拓撲基礎的公理化表述。後來，這種語言已在很多領域裡被採用，甚至包括那些尚未使用同調方法的領域。同調代數的主要課題之一是研究正合函子，著重研究從模範疇到加群範疇的函子，以及函子的導函子，把同調與上同調都歸結為導函子的特例。同調代數的方法已被廣泛地套用到數學的各不同分支上，如泛函分析、單複變函數論、微分方程等，代數學的一些分支，如代數K理論、代數幾何學和代數數論等，更不可缺少同調代數的方法。