單列代數(uniserial algebra)亦稱主理想代數。單側理想是主理想的特殊代數類。域F上有限維代數，其任意右理想或任意左理想都是主理想的代數稱為單列代數。單列代數的商代數恆為擬弗羅貝尼烏斯代數。
主理想是一類具體的理想。指由環的一個子集生成的理想。
基本介紹
- 中文名：單列代數
- 外文名：uniserial algebra
- 領域：代數
- 別名：主理想代數
- 性質：右理想或左理想都是主理想
- 特點：商代數恆為擬弗羅貝尼烏斯代數
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概念介紹
單列代數(uniserial algebra)亦稱主理想代數。單側理想是主理想的特殊代數類。域F上有限維代數，其任意右理想或任意左理想都是主理想的代數稱為單列代數。單列代數的商代數恆為擬弗羅貝尼烏斯代數。這類代數有一個重要性質是：單列代數上任意不可分解模都同構於主模的商模，並且此不可分解模由其長度和投射覆蓋惟一確定。
理想
理想是集合論中的基本概念之一。設S為任意集合，若I⊆P(S)且滿足：
1.∅∈I;
2.若X，Y∈I，則X∪Y∈I;
3.若X，Y⊆S，X∈I，Y⊆X，則Y∈I;
則稱I為集合S上的理想。理想的概念在現代數學的幾乎每個分支中均有套用，且有許多變體或引申。例如，布爾代數上的理想即為集合上的理想的一種變體。設B為任意布爾代數，若B的一個子集I滿足：
1.0∈I，1∉I(其中0，1分別為布爾代數B中的零元與么元);
2.對任何u∈I，v∈I，有u+v∈I;
3.對任何u，v∈B，若u∈I且v≤u，又v∈I;
則稱I為B上的理想。
理想與濾子有非常密切的聯繫。
主理想
一類具體的理想。指由環的一個子集生成的理想。設S是環R的非空子集，R中含S的一切理想(左、右理想){Aα}的交是R中含S的最小理想(左、右理想)，記為：
性質
單列代數的商代數恆為擬弗羅貝尼烏斯代數。
商代數
一個代數結構模它的同餘關係產生的新的代數結構。
集A上的等價關係～將A劃分成互不相交的等價類的並，記成=A/～，即的元素[a]是a所在的等價類.稱為A關於～的商集.進一步，設～是代數結構〈A，◦〉上的等價關係，並且對任意a，b∈A，若a～b，對任何c∈A，都有a◦C～b◦c，且c◦a～c◦b，則稱等價關係～是〈A，◦〉上的同餘關係.例如，模m同餘，a≡b (modm)，若且唯若m| (a-b)，是〈Z，+〉上的一個同餘關係，並且模m同餘也是〈Z，+，·〉上的同餘關係。又如，群〈G，·〉的正規子群N確定的陪集關係R，aRb若且唯若ab∈N，是〈G，+〉上的同餘關係。
設～是代數結構〈A，◦〉上的同餘關係，則可在商集=A/～上定義運算*。
[a1] * [a2]=[a1·a2]
稱代數結構〈A/～，*)=〈，* 〉為〈A，◦〉(關於～)的商代數。
例如，剩餘類環〈Zm，+，·〉是〈Z，+，·〉的一個商代數，群〈G，·〉關於正規子群N的商群〈G/N·〉就是由N確定的陪集關係確定的商代數。
一個代數結構必定與它的商代數同態，把任一元素對應到這個元素所在的等價類的映射就是代數結構到其商代數的同態映射。反過來，代數結構A的任何一個同態映射可以導出A的一個同餘關係～，並得到商代數A/～，A/～必與A的同態象同構。
擬弗羅貝尼烏斯代數
簡稱QF代數。一類重要的特殊代數。域F上代數A，若它的一切投射模都是內射模，等價地說，它的正則模是內射模，則稱A為擬弗羅貝尼烏斯代數。這類代數也可從代數內部刻畫：代數A是擬弗羅貝尼烏斯代數若且唯若A的左、右理想格反同構。域F上代數A是QF代數若且唯若A是QF環。這類代數起源於對有限群表示的研究，由中山正(Nakayama，T.)引入。
中山正是日本數學家。生於東京。1935年畢業於東京大學理學部數學科。同年任大阪大學助教；1937年應邀到美國普林斯頓高級研究所工作兩年；1941年以弗羅伯尼斯多元環的研究獲理學博士；1942年任名古屋大學助理教授，1944年升教授。1947年以無限維多元環理論的研究獲中部日本文化獎。1953年以環論和表示論的研究獲日本學士院獎。1963年當選日本學士院院士。
中山正是日本代數學研究的先驅，為使日本數學達到國際水平作出了重要貢獻。他的工作涉及代數學中幾乎所有課題，主要成就包括構造以有限維代數域上的伽羅瓦群為係數的上同調群，澄清格群和弗羅伯尼斯代數的結構，發展一般同調代數和類域論等。交換代數中的“中山引理”是該學科的基本概念。著作多部，包括《格論》(1944)、《代數學》(1954)、《同調代數學》(1957)等等。
