基本介紹
- 中文名:例外若爾當代數
- 外文名:exceptional Jordan algebra
- 領域:代數
- 對應概念:特殊若爾當代數
- 本質:若爾當代數
- 提出者:若爾當
概念介紹,若爾當代數,特殊若爾當代數,特殊若爾當代數實例,Hermitian 若爾當代數,衍生和結構代數,人物簡介,
概念介紹
例外若爾當代數(exceptional Jordan algebra)與特殊若爾當代數相對照的一種若爾當代數。一個若爾當代數不是特殊的若爾當代數即稱為例外若爾當代數。著名的例外若爾當代數的例子是在一個凱萊一迪克森代數C上定義一個對合,然後考慮C上某些3階方陣所構成的一個集合H(C),使得H(C)是若爾當代數,但它不是任何特殊若爾當代數的同態像。
若爾當代數
若爾當代數(Jordan algebra)是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的,最初的目的是推廣量子力學的公式。他們最初被稱為“r階數字系統”,但由Albert(1946年)更名為“若爾當代數”,他開始系統研究若爾當代數。
在抽象代數中,若爾當代數是一個不相關代數,其乘法滿足以下公理: xy = yx; (xy)(xx)= x(y(xx))。
若爾當代數中的兩個元素x和y的乘積也表示為x∘y,為了避免與相關關聯代數的乘積混淆。
若爾當代數(Jordan algebra)是一種交換的非結合代數。它滿足若爾當恆等式。所謂非結合代數滿足若爾當恆等式,是指對它的任意元素x,y,恆有
及
。任何交換(結合)代數都是若爾當代數。特徵數為0的域F上的任意有限維半單的若爾當代數恆可惟一地表為其單理想之直和。對於有限維若爾當代數,理想是可解的、冪零的和詣零的三條件等價。若爾當代數是20世紀30年代初由物理學家若爾當((Jordan,P.)引出來的,最初的目的是推廣量子力學的公式。
![](/img/1/4c1/ac8b4e4ee75e81728a958b23fe47.jpg)
![](/img/5/911/f1c88162e01815cb37f6de2a9210.jpg)
特殊若爾當代數
x°y=(xy+yx)/2 (任意x,y∈B),
則(B,+,°)是F上的一個若爾當代數,通常記為B+。域F上的非結合代數A,若同構於某個B+的子代數,則稱A為特殊若爾當代數。
特殊若爾當代數實例
給定一個關聯代數A,可以使用相同的底層加法向量空間來構造若爾當代數
。請注意,若且唯若是交換代數時,關聯代數才是若爾當代數。如果不可交換,我們可以在A上定義一個新的乘法,使其交換,實際上使它成為Jordan代數。新的乘法x∘y滿足:
![](/img/8/cb7/57b96cabbbf0149dd93a61bd56b9.jpg)
![](/img/9/c90/1c0bc37f4c834b5776f53944839c.jpg)
![](/img/2/100/81297502a538e9ab7c2d0494dc5e.jpg)
Hermitian 若爾當代數
如果(A,σ)是具有回歸σ的關聯代數,則如果σ(x)= x和σ(y)= y,則遵循:
![](/img/3/e76/caaf3057384a21703060b69c1f16.jpg)
![](/img/4/666/57b301fc8b2ea7c3b87e7d03593a.jpg)
![](/img/e/e7f/a0e14581b5a272c7897b543a46d6.jpg)
示例
1.一組自相關實數,複數或四元數矩陣滿足如下乘法:
![](/img/a/853/38b40dc9d8346ae0253686c0ef3d.jpg)
2.一組3×3自相關矩陣在八次數上,同樣滿足乘法:
![](/img/a/d3d/26262af464f79c668273fe2c9b2f.jpg)
衍生和結構代數
約旦代數A的衍生形式是A的同態D,使得D(xy)= D(x)y + xD(y)。導數形成李代數der(A)。約旦身份意味著如果x和y是A的元素,那么將z代入到x(yz)-y(xz)的同態是推導。因此,A和der(A)的直接和可以形成一個稱為A,str(A)的結構代數的李代數。
一個簡單的例子由Hermitian Jordan代數H(A,σ)提供。在這種情況下,具有σ(x)= - x的A的任何元素x定義了導數。在許多重要的例子中,H(A,σ)的結構代數為A。
人物簡介
若爾當是法國數學家。生於里昂,卒於巴黎。畢業於巴黎理工科大學,1861年獲博士學位。1873—1921年任教於母校和法蘭西學院,1881年當選為法國科學院院士。1895年當選為彼得堡科學院通訊院士。擔任過《純粹與套用數學》雜誌編輯(1885—1921)。若爾當在代數學、分析學、函式論、拓撲學、集合論等方面都有較大的貢獻。他運用組合論的觀點探討了多面體的對稱性,對平面或n維空間的任意集合引入了外測度的概念;還建立了有界變差函式的概念,並證明這種函式可表為兩個增函式的差;在代數學方面,他系統地發展了有限群論及伽羅華理論,證明了著名的“若爾當—赫爾德定理”的前半部。他最早開展了無限群的研究,首先用形如:
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