單泛代數(simple universcal algebra)是一類特殊泛代數。若一個泛代數U僅有平凡契約關係，則稱U為單泛代數。
基本介紹
- 中文名：單泛代數
- 外文名：simple universcal algebra
- 領域：數學
- 學科：代數學
- 性質：一類特殊泛代數
- 特點：僅有平凡契約關係
泛代數,契約關係,代數學,
泛代數
泛代數是代數學的一個分支學科。泛代數是在群、環、域、格等代數系統研究的基礎上進一步抽象得以發展起來的一般代數系統。一個泛代數U是一個二元組〈A，F〉，其中A是一個非空集合，稱A為U的全域(universe)或支集(underlying set)，F是定義於A上的運算集合(F可能是有限集，也可能是無限集)。對於泛代數可以仿照群、環、域中的方式定義子代數、同態、同構概念等。
早在1898年，懷特海(Whitehead，A.N.)就意識到要研究泛代數。但直到20世紀30年代伯克霍夫(Birkhoff，G.D.)的論文發表以前，泛代數的研究沒有什麼發展。這和當時近世代數的大部分分支沒有得到充分的發展有關.從1935年到1950年，泛代數的大部分研究成果是按伯克霍夫的文章的方向進行的，即，研究自由代數、同態定理、同構定理、契約關係格、子代數格等。
由於數理邏輯的發展，為泛代數的研究提供了一個新的工具，特別是哥德爾完全性定理、塔爾斯基可滿足性概念、緊緻性定理等，使人們意識到邏輯在代數中套用的可能性。馬爾茨夫(Malcev)於1941年發表了這方面的第一篇論文，由於戰爭，他的論文沒有引起人們的注意。後來，塔爾斯基(Tarski，A.)、亨金(Henkin，L.)和魯賓孫(Robinson，A.)開始這方面的研究工作。
利用模型論(數理邏輯的一個分支)研究泛代數的主要代表人物有塔爾斯基、亨金、查爾各(Charg，C.C.)、嬌生(Jonsson，B.)、凱斯勒爾(Keisler，H.J.)、林敦(Lyndon，R.C.)、墨爾洛各(Morlog，H.)、斯科特(Scott，D.S.)、沃特(Varght，R.L.)等人.當然，泛代數的結果也可套用於模型論的研究。
泛代數除了在數學本身的研究中有廣泛套用外，對計算機語言和語義理論的研究也有越來越大的作用。
契約關係
契約關係是格的一種重要等價關係。設θ是格L的等價關係，若a≡b(θ)和a1≡b1(θ)，則a∧a1≡b∧b1(θ)和a∨a1≡b∨b1(θ)(替換性質)，稱θ為L的契約關係。若在格L上定義x≡y(ω)若且唯若x=y;對任意x，y有x≡y(ι)，則ω和ι是L的契約關係，稱為平凡的契約關係。若a∈L，[a]θ={x∈L|a≡x(θ)}表示包含a的契約類，則[a]θ是凸子格。對格L中的任一素理想P，均可構造出一個只含P及補集L-P兩個契約類的契約關係。此種契約關係頗為重要。它是研究格的重要工具。
數論中契約關係的推廣。設U=〈A，F〉是一個泛代數，θ是定義於A上的一個二元關係，若θ是一個等價關係並且適合：對任意fr∈F，只要ai≡bi(θ) 0≤i≤nr，就有fr(a0，a1，…，anr-1)≡fr(b0，b1，…，bnr-1)(θ)，
則稱θ是U的一個契約關係。若A/θ表示θ的所有等價類構成的集，按通常方式在A/θ中定義運算，則(A/θ，F)也是一個泛代數，並且φ：a→[a]θ對任意a∈A是〈A，F〉到〈A/θ，F〉的一個同態映射，其中[a]θ表示a所在的等價類。
代數學
是數學中一個重要的、基礎的分支。代數學一般分為初等代數學(或稱古典代數學)和抽象代數學(曾稱近世代數學)。
1.初等代數學是更古老的算術的推廣和發展，研究數學和文字的代數運算(加法、減法、除法、乘法和開方)的理論和方法，更確切地說是研究實數或複數和以它們為係數的多項式的代數運算的理論和方法。其研究方法是高度計算性的，中心問題是實或復係數多項式方程(或稱代數方程)和方程組的解的求法及其分布的研究，因此也可簡稱為方程論，它的演變歷史久遠，中國和其它文明古國都有貢獻，歐洲則於16世紀、17世紀才系統地建立起這門學科，並繼續發展到19世紀的上半葉。隨電子計算機廣泛而深入的使用，有些內容的新發展已併入計算數學的範圍。
2.抽象代數學是在初等代數學的基礎上，通過數系概念的進一步推廣或者可以實施代數運算的對象的範圍的進一步擴大，逐漸發展形成的。它自18、19世紀之交萌芽，於20世紀20年代建立起來。它的研究對象是非特定的任意元素集合和定義在這些元素之間的滿足若干條件或公理的代數運算，亦即它以各種代數結構(或稱系統)的性質的研究為中心問題，其研究方法主要是公理化的。例如，考慮任意一些元素a，b，c……組成的一個非空集合S和一個或幾個運算，如記作o，……等。假設S中任兩個元素a，b依次序用運算。連線起來的結果aob仍然是S中一個完全確定的元素C(封閉性)，並假設對S中元素實施的運算單獨或相聯繫地遵守通常四則或有理運算所適合的一些法則或公理(如加法或乘法滿足結合律、交換律等)，則S對運算o成為一種代數結構。由各種代數結構出發研究它們的性質，即是所謂抽象代數學。
至今，已有群、環、域、模、代數、格以及泛代數、同調代數、範疇等重要代數結構。在各類代數結構的研究中，同類中兩個代數結構的同構及其推廣的同態的概念是基本的。抽象代數的理論和方法由於其一般性而對全部數學的發展有著顯著的影響，並對理論物理、結晶學也產生著重要的影響。
