實係數微分奇異同調群

概念

實係數微分奇異同調群是邊緣運算元誘導的線性變換的核關於其像的商空間。對於每個p≥0，設_∞S_p(M，R)表示由微分流形M內的可微奇異p單形所生成的實向量空間。因此，_∞S_p(M，R)的元素是M中可微奇異p鏈。當p<0時，規定_∞S_p(M，R)為零向量空間。

由邊緣運算元∂誘導出線性變換：

∂_p：_∞S_p(M，R)→_∞S_p-1(M，R).

當p≤0時令∂_p為零變換。顯然，∂_p°∂_p+1=0，即∂_p+1的像在∂_p的核中，稱_∞H_p(M，R)=Ker∂_p/Im∂_p+1為p維實係數微分奇異同調群。Ker∂_p的元素稱為可微p閉鏈.Im∂_p+1的元素稱為可微p邊緣。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

對象——邊緣運算元

邊緣運算元亦稱邊緣同態。建立同調群的重要概念。它是有向三角形的邊緣為三條有向棱的推廣。按下列方式定義的n維復形K的從q維鏈群到(q-1)維鏈群的同態：

_{∂ q}： C_q(K)→C_q-1(K) (0≤q≤dim K=n)，

稱為q維邊緣運算元：

1.對於有向單形

，

(這裡

表示將頂點a_i除去)。

2.對於任意q維鏈：

對於q<0或q>n，約定_q=0，即為零同態。

邊緣運算元最重要的性質是，對於任意整數q，有

是零同態，也記為

。

線性變換

線性變換是線性代數的重要概念之一。設σ是數域P上的線性空間V的一個變換。若對於V中的任意向量α，β與P中的任意數k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，則稱σ是V的一個線性變換。設σ是線性空間V的一個變換，若對於V中任意向量α，有σ(α)=α，則σ是V的線性變換，稱為恆等變換，亦稱單位變換，記為I。若V的變換σ對於V中的任意向量α，有σ(α)=0，則σ是V的線性變換，稱為零變換，記為0.線性變換是歐氏幾何中的變換、解析幾何中的某些坐標變換、數學分析中的某些變數代換以及其他數學分支中某些類似的變換的抽象、概括與推廣。數域上線性空間的線性變換可以推廣為同一個域上的兩個不同線性空間的線性映射。線性變換不僅是線性代數的主要研究對象之一，也是數學中的一個重要的概念。近代數學中的許多分支的研究對象，如泛函分析中的線性運算元。同調代數中的模同態等都與線性變換有密切的聯繫。

實係數微分奇異同調群

基本介紹

概念

群

對象——邊緣運算元

線性變換

商空間

微分流形

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