流形法叢

在數學領域之微分幾何中，法叢（normal bundle）是一個特殊的向量叢，得自一個嵌入或浸入，是切叢的補。流形法叢是一種特殊的向量叢。

基本介紹

• 中文名：流形法叢
• 外文名：normal bundle of manifold
• 領域：數學

定義

黎曼流形

設是一個黎曼流形，是一個黎曼子流形。對給定的，一個向量定義為的法向量，如果對所有（從而正交於）。這樣的的集合稱之為在的法空間。

就像一個流形的法叢是由流形的所有切空間構造的，的法叢的全空間定義為

余法叢定義為法叢的對偶叢。它可以自然實現為餘切叢的子叢。

一般定義

更抽象地，給定一個浸入（比如嵌入），我們可以定義N在M中的法叢，在每一點取M上的切叢對N的切叢的商空間。對黎曼流形我們可將商與正交補等同，但一般不可行（這樣一種選取等價於投影的一個截面）。

從而法叢一般是周圍空間對限制在子叢上切叢的商。

正式地，N在M中的法叢是M的切叢的一個商叢： 我們有N上向量叢的短正合序列：

這裡是M的切叢限制在N上（準確地說，M的切叢通過映射拉回到N上）。

穩定法叢

抽象流形由一個典範切叢，但沒有法叢：只有當一個流形嵌入（或浸入）另一個流形時誘導了一個法叢。但是，由惠特尼嵌入定理，每個緊流形可以嵌入在中，給了這樣一個嵌入，每個流形有一個法叢。

一般沒有自然的嵌入方式，但對給定的M，任何兩個嵌入在中，對足夠大N是正則同倫的，從而誘導了相同的法叢。所得的法叢類（這是一個叢的類而不是一個特定的叢，因為N可以變）稱為穩定法叢。

對偶於切叢

法叢在K-理論的意義下對偶於切叢： 由上一個短正合序列，在格羅滕迪克群中

浸入在中的情形，周圍空間的法叢是平凡的（由於可縮，從而可平行化），故，從而。

這在計算示性類時有用，可用於證明一個流形可浸入和可嵌入歐幾里得空間中的下界。