正交(數學名詞)

正交的含義

對於一般的希爾伯特空間，也有內積的概念，所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。特別的，我們有n維歐氏空間中的正交概念，這是最直接的推廣。

和正交有關的數學概念非常多，比如正交矩陣、正交補空間、施密特正交化法、最小二乘法等等。

另外在此補充正交函式系的定義：在三角函式系中任何不同的兩個函式的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，則稱這樣的三角函式組成的體系叫正交函式系。

若內積空間中兩向量的內積為0，則它們正交。類似地，若內積空間中的向量v與子空間A中的每個向量都正交，那么這個向量和子空間A正交。若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那么它們互為正交子空間。

是保持內積的線性變換。即是說，對兩個向量，它們的內積等於它們在函式T下的內積：

這也就是說，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。

在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個向量正交若且唯若他們的點積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎上推廣而來的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。

對於兩個函式f和g，可以定義如下的內積：

這裡引進一個非負的權函式。這個內積叫做帶權{\displaystyle w(x)}的內積。

兩個函式帶權{\displaystyle w(x)}正交，是指它們帶權

的內積為零。

由此可以類似定義帶權{\displaystyle w(x)}的模。

一個函式列{f_i:i= 1, 2, 3, ... }如果滿足：

其中

為克羅內克函式，那么{f_i}就稱為帶權{\displaystyle w(x)}的正交函式族。

進一步地，如果{f_i}滿足：

就稱{f_i}為帶權

的標準正交函式族。

正交基