基本介紹
- 中文名：K-理論
- 外文名：K-theory
- 相關領域：數學、物理
- 發現：亞歷山大·格羅滕迪克1957年
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數學定義
在數學中，K-理論（K-theory）是多個領域使用的一個工具。在代數拓撲中，它是一種異常上同調，稱為拓撲K-理論；在代數與代數幾何中，稱之為代數K-理論；在運算元代數中也有諸多套用。它導致了一類 K-函子構造，K-函子包含了有用、卻難以計算的信息。
物理學定義
在物理學中，K-理論特別是扭曲K-理論（twisted K-theory）出現在II型弦理論（Type II string theory），其中猜測它們可分類D-膜（D-branes）、拉蒙-拉蒙場強（Ramond-Ramond field）以及廣義複流形上某些旋量。具體細節參見K-理論 (物理)。
早期歷史
最早由亞歷山大·格羅滕迪克1957年發現，名字取自德文“Klasse”，意為“分類”class ，進而表述為格羅滕迪克-黎曼-羅赫定理。格羅騰迪格需要在代數簇 X 的層上工作。不是直接在處理層，他給出了兩個構造。首先，他利用直和運算將層的交換么半群轉換成一個群 通過取層的分類的形式和以及形式加法逆（這是得到給定函子左伴隨的明確方法）。在第二個構造中，他強加以與層擴張一致的額外關係，得到一個現在記作 的群。這兩個構造都被稱為格羅騰迪克群； 具有上同調錶現而 有同調錶現。
如果 是一個光滑簇，兩個群是相同的。
在拓撲學中，我們對向量叢有類似的和構造。麥可·阿蒂亞與弗里德里希·希策布魯赫（Friedrich Hirzebruch）在1959年使用格羅騰迪格群構造來定義拓撲空間 的 （兩個構造一致）。這是在代數拓撲中發現的第一個奇異上同調理論的基礎。它在指標定理的第二證明中起了巨大的作用。此外，這種途徑導向了 C*-代數的非交換 -理論。
在1955年，讓-皮埃爾·塞爾已經用具有投射模向量叢的類似物來表述塞爾猜想（Serre's conjecture），該猜想聲稱一個域上多項式環上的投射模是自由模；這個論斷是正確的，但知道20年後才解決（斯旺定理（Swan'theorem）是這個類比的另一方面）。1959年，塞爾給出了環的格羅騰迪克群構造，用它來證明投射模是穩定自由的。這個套用是代數K-理論之開端。
後期發展
隨後一個時期，出現了各種類型的“高階 K-理論函子”定義。最後，兩種有用的等價定義由丹尼爾·奎倫（Daniel Quillen）在1969年與1972年用同倫理論給出。另一種變體也由弗里德海姆·瓦爾德豪森（Friedhelm Waldhausen）為了研究“空間的代數 K-理論”提出，這與偽同痕的研究有關。大多數現代高階 K-理論研究與代數幾何和主上同調（motivic cohomology）有關。
帶有一個輔助的二次型的相應構造具有一般名字L-理論（L-theory）。它是割補理論（surgery theory）的主要工具。
相關文獻
歷史
這個猜想,套用於d膜費用,首次提出麥納斯安&摩爾(1997)。它的流行源於威騰(1998)表明,在IIB型弦理論從Ashoke森出現自然的實現任意維膜配置為成堆的D9和反D9膜超光速粒子凝結後。
這樣的成堆的膜不一致在一個非扭轉內沃施瓦茲(NS)3形式背景,強調了Kapustin(2000),使複雜的擴展k理論分類這樣的案例。Bouwknegt & Varghese(2000)提出了一個解決這個問題的辦法:d膜一般都由一個扭曲的k理論分類,早些時候已被定義為羅森伯格(1989)。
套用
k理論分類的d膜套用多次。例如,Hanany & Kol(2000)用它來認為,有八種orientifold一架飛機。Uranga(2001)採用了k理論分類派生新的一致性條件compactifications通量。k理論也被用於推測一個公式為拓撲流形的t雙由Bouwknegt,Evslin & Varghese(2004)。k理論一直推測分類spinors在compactifications廣義複流形上。
其它
開放的問題
儘管取得了這些成就,RR熔化不完全被k理論。迪亞科內斯庫,摩爾&威騰(2003)認為,k理論分類是不兼容年代對偶在IIB弦理論。
此外,如果一個人試圖在一個緊湊的分類通量十維,然後一個併發症出現時空由於自對偶的RR通量。二元性的使用霍奇明星,這取決於度量,所以不斷重視和在特定的通常是非理性的。因此並不是所有的RR通量,解釋為陳省身字元在k理論,可以理性的。然而陳省身字元總是理性的,所以k理論分類必須更換。需要選擇一個一半的流量到數字轉換,或一個極化(消歧需要]在幾何量化啟發語言,摩爾,迪亞科內斯庫威滕和以後的Varghese &殉死(2004)。時而可以使用k理論一個9維時間片是由馬,摩爾&令(2001)。
k理論分類的RR通量
在經典極限的II型弦理論,這是II型超引力,Ramond-Ramond磁場強度是微分形式。在量子理論的well-definedness的配分函式的d膜意味著RR磁場強度服從狄拉克量子化條件當時空緊湊,或當一個空間片緊湊和一隻考慮(磁)組件的場強沿空間方向的謊言。這使得20世紀物理學家分類RR磁場強度使用上同調與積分係數。
然而一些作者認為,時空上同調的整係數太大。例如,在存在內沃施瓦茲的h通量或非自旋周期一些RR通量決定存在d膜。在前一種情況下這是一個後果的超引力運動方程即產品的RR通量與NS 3形式是一個d膜電荷密度。因此,組拓撲不同的RR磁場強度,可以存在於膜自由配置只有一個子集的上同調與積分係數。
這個子集仍然太大,因為有些課程是由大規轉換有關。在QED有大規的轉換,添加積分倍數2π,威爾遜的循環。潛力的p形式在II型超引力理論也喜歡這些大規的轉換,但由於存在陳省身西蒙斯條款,在超引力行動這些大規轉換變換不僅p形式但也同時潛力(p + 3)—構成磁場強度。從而獲得inequivalent的空間磁場強度從前述的子集的積分上同調我們必須商通過這些大規的轉換。
這個Atiyah-Hirzebruch譜序列結構扭曲的k理論,加給的磁場強度,NS 3形式作為一個商集的上同調與積分係數。在經典的極限,這對應於工作與理性,這正是係數差商的一個子集超引力中所述。量子修正來自扭類和含國防部2扭轉修正由於釋放的威滕異常。
因此扭曲k理論分類的子集,可以存在磁場強度RR在缺乏d膜quotiented大規的轉換。丹尼爾釋放已嘗試擴展該分類包括也RR潛力使用微分k理論。
k理論分類的d膜
k理論分類d膜在noncompact spacetimes,直觀地在spacetimes中,我們不關心這個膜通量源自有無處可去。而k理論的10維時空分類d膜作為子集的時空,如果時空是產品的時間和一個固定9歧管然後k理論也將保存在每個指控d膜9維空間切片。雖然我們必須忘記RR潛力得到k理論分類的RR領域的優勢,我們必須忘掉RR磁場強度來獲得k理論分類的d膜。
k理論電荷與BPS電荷
已經強調了切赫Hořava,k理論分類的d膜是獨立的,而且在某些方面強於BPS的分類,州。k理論似乎分類穩定d膜超對稱性差了基於分類。
例如,d膜與扭力指控,指控在訂單N循環群,相互吸引,所以不能個基點。事實上,N這樣的膜可以腐爛,而沒有疊加的膜,滿足Bogomolny必然會不斷衰減。然而這樣的膜的電荷守恆模N,這是被k理論分類但不是一個分類。這種扭轉膜被套用,例如,模型Douglas-Shenker字元串在超對稱U(N)計理論。
k理論從超光速粒子凝結
Ashoke森曾猜想,在缺乏拓撲非平凡NS 3形式通量,所有IIB膜配置可以獲得成堆的spacefilling D9和反D9通過超光速粒子凝結。膜的拓撲生成的膜被編碼在拓撲的規束在堆疊上的spacefilling膜。拓撲的規束一堆D9s和反D9s可以分解成一個規束在D9的和另一個包在反D9的。超光速粒子凝結轉換這樣一雙包另一雙,同樣的包是直接總結與每個組件在兩人。因此,超光速粒子凝結不變的量,即電荷是守恆的超光速粒子凝結過程,不是一雙包而是等價類的一雙包在直接大筆的同一包兩側的一對。這就是通常的拓撲k理論建設。因此,規束在成堆的D9的和反D9的歸類拓撲k理論。如果森的猜想是正確的,所有d膜配置類型IIB然後被k理論。切赫Horava已經擴展這個猜想到IIA使用d8膜。
扭曲的k理論從MMS instantons
而超光速粒子凝結的照片k理論分類分類d膜作為子集的10維時空沒有NS 3形式通量,馬,摩爾,令圖片分類穩定與有限質量與d膜的子集,9維空間片時空。
中央的觀察是,D膜不分類,通過積分相同,因為dp膜包裝一定周期遭受一個釋放的威滕異常,這是被插入的D(p 2)膜,有時D(有兆赫"奔" 4)膜,結束在困苦dp膜。這些插入膜可以繼續無窮大,在這種情況下,複合對象有一個無限的質量,否則他們可能會在一個反dp膜,在這種情況下,總費用是零。dp膜在這兩種情況下,你可能希望刪除異常dp膜從譜,只留下一個子集的原始積分上同調。
插入的膜不穩定。看到這,假設他們擴展在時間(過去)從反常膜。這對應於一個過程中,插入膜衰減通過dp膜形成,將前述的循環,然後就消失了。MMS[1]指這個過程作為一個瞬子,雖然確實不需要instantonic。
保守的指控是因此nonanomolous quotiented子集由不穩定的插入。這正是Atiyah-Hirzebruch譜序列結構的扭曲的k理論作為一組。
理順扭曲的k理論和年代的二元性
迪亞科內斯庫,摩爾,威滕指出,twisted k理論分類是不兼容的類型的年代對偶協方差IIB弦理論。例如,考慮約束條件的Ramond-Ramond 3形式場強G3的Atiyah-Hirzebruch譜序列(展現):
在d3 = Sq3 + H是第一重要的微分的展現,Sq3是第三個斯丁洛特廣場和最後的平等是事實,第n個斯丁洛特廣場表演任何n形式x是xx。
上面的方程是不不變在年代對偶,G3和h .相反迪亞科內斯庫交流,摩爾,威滕提出以下年代對偶協變數擴展
P是一個未知的地方特徵類,僅僅依賴於拓撲結構,特別是不要在助熔劑。迪亞科內斯庫,釋放了&摩爾(2007)發現了一個約束在P使用E8規範理論方法m理論開創,摩爾,威騰迪亞科內斯庫。
因此d膜在IIB不被扭曲的k理論畢竟,但是一些未知的年代對偶協變對象,不可避免地也都基本字元串和NS5-branes分類。
然而MMS處方為計算k理論很容易S-covariantized扭曲,釋放的威滕異常尊重年代對偶。因此,S-covariantized形式的MMS建設可套用於構建S-covariantized扭曲k理論,作為一組,不知道有任何幾何描述的正是這種奇怪的協變的對象。這個項目已經進行的論文數量,如Evslin & Varadarajan(2003)和Evslin(2003 a),也被套用到分類的流量通過Evslin(2003 b)。Bouwknegt et al。(2006)使用這種方法來證明迪亞科內斯庫,摩爾,威騰的推測約束在3通量,他們顯示有一個額外的期限等於d3膜電荷。Evslin(2006)表明,Klebanov-Strassler一連串令二是由一系列的年代雙MMS instantons,一個用於每個令二元性。該集團的普遍性類的超對稱規範理論是然後證明同意年代雙扭k理論和不與原扭曲k理論。
一些作者提出了完全不同的方法去解決這個難題。例如,Kriz &殉死(2005)提出,而不是扭曲的k理論,二世弦理論配置應該歸類為橢圓上同調。
進一步閱讀
一個優秀的介紹了k理論分類的d膜在十維森的猜想是通過Ashoke原始紙”d膜和k理論”由愛德華·威騰;還有一個廣泛的審查由奧爾森&薩博(1999)。
一個非常理解介紹twisted k理論分類的守恆d膜費用9維時間片存在內沃施瓦茲的通量是馬,摩爾&令(2001)。
