自由模

定義介紹

在數學中，自由模是一個有基礎的模 - 即一個由線性獨立的元素組成的集合。每個向量空間都是一個自由模，但是如果係數的環不是分割環（不是交換情況），則存在非自由模。

任意給定集合S和環R，存在有基礎S的自由模R，它被稱為S上的自由模或S的元素的線性組合模。

一個自由阿貝爾群正好是一個整數環Z的自由模。

對於環R和R-模的M，如果下面兩個條件成立，那么“集合E包含於M”是M的基礎：

（1）M是由E形成的；也就是說，M的每個元素是E的元素乘以R裡面的係數再得到的有限的和；

（2）E是線性獨立的，也就是

。

自由模是具有基礎的模。

上述定義的後半部分的直接結果是係數對於M的每個元素都是唯一的。

如果R具有不變的基數，則根據定義，它的任何兩個基數具有相同的基數。任何基數被稱為自由模M的等級。自由模被認為是n級的。

讓R是一個環。

（1）R是一個自由模（無論是左模還是右模）；任何單元都是基。

（3）如果R是可交換的，則不確定X中的多項式環R [X]是否具有基1，X，X2，...的自由模。

（4）對於任何非負整數n，

，Rⁿ是左R模的n個笛卡爾乘積。如果R具有不變基數，則其等級為n。

（5）自由模的直接求和也是自由的，而自由模的無限笛卡爾乘積通常不是自由的。

給定一個集合E和環R，有一個自由模R，其以E為基礎：即由E索引的R的直接和

顯而易見，它是笛卡爾積的子模組

（R被視為左模組），它由僅有有限許多非零分量的元素組成。可以通過用e（E）的元素識別元素e，將E嵌入到R（E）中作為子集，那么R（E）的元素可以唯一地寫為

其中只有很多

非零。它被稱為E的元素的公式線性組合。

一個類似的觀點表明，每個自由模左（右）R模組直接總和是同構的。

映射

在以下意義上是普遍的：

給定從集合E到R模M的任意映射

，存在唯一的模組同構ψ：

，使得φ=ψ·τ。

這將R^（E）定義為規範的同構，映射

可以自然地從集合的類別到R模組的類別擴展成一個函子。

這個函子是將一個模映射到其基的函子。