投射對象

同調代數中,內射對象投射對象內射模投射模阿貝爾範疇中的推廣,二者的定義相對偶。

基本介紹

  • 中文名:投射對象
  • 外文名:Projection object
  • 領域:數學
簡介,同調代數,阿貝爾範疇,正合函子,

簡介

同調代數中,內射對象投射對象內射模投射模阿貝爾範疇中的推廣,二者的定義相對偶。以下固定一個阿貝爾範疇
若對象
使得函子
正合函子,則稱
投射對象
若對象
使得函子
正合函子,則稱
內射對象
若對每個對象
都存在投射對象
及滿射,則稱
有充足投射元。若對每個對象
都存在內射對象
及單射
,則稱
有充足內射元。對於有充足投射元(或內射元)的阿貝爾範疇,可以考慮對象的投射分解(或內射分解)。

同調代數

同調代數數學的一個分支,它研究同調與上同調技術的一般框架。同調代數是一門相對年輕的學科,其源頭可追溯到代數拓撲(單純形同調)與抽象代數(合沖模)在十九世紀末的發展,這兩門理論各自由龐加萊希爾伯特開創。
同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致說來,同調代數是(上)同調函子及其代數結構的研究。“同調”與“上同調”是一對對偶的概念,它們滿足的範疇論性質相反(即:箭頭反向)。數學很大一部分的內在構造可藉鏈復形理解,其性質則以同調與上同調的面貌展現,同調代數能萃取這些鏈復形蘊含的資訊,並表之為拓撲空間李代數與C*-代數等等“具體”對象的(上)同調不變數。譜序列是計算這些量的有力工具。
同調代數肇始即在代數拓撲中扮演要角。其影響日漸擴大,目前已遍及交換代數代數幾何代數數論、表示理論、運算元代數、偏微分方程非交換幾何K-理論是一門獨立的學科,它也採用同調代數的辦法。

阿貝爾範疇

數學中,阿貝爾範疇(或稱交換範疇)是一個能對態射對象取和,而且與上核存在且滿足一定性質的範疇;最基本的例子是阿貝爾群構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。
一個範疇
若滿足下述條件,則稱阿貝爾範疇
是加法範疇,所有態射皆有與上核,所有態射皆為嚴格態射。只滿足前兩個條件者稱作預阿貝爾範疇
若取
為一交換環,則在上述定義中以k-加法範疇代換加法範疇,便得到k-阿貝爾範疇之定義。

正合函子

範疇論中,正合函子(或譯作恰當函子)是保存有限極限函子。在阿貝爾範疇中,這就相當於保存正合序列的函子。
阿貝爾範疇
為加法函子。若對每個正合序列
後得到的序列
仍為正合序列,則稱
正合函子
由於正合序列總能拆解為短正合序列,在定義中僅須考慮短正合序列即可。
此外,若對每個短正合序列
,其像截去尾端零對象後
為正合序列,則稱
左正合函子;類似地,若
為正合序列,則稱
右正合函子。正合性等價於左正合性+右正合性。

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