扭結群

歐氏空間R³中的簡單閉曲線稱為扭結(knot)。由有限條直線所組成的扭結稱為多邊形扭結。設K₁和K₂是扭結，如果存在同胚h： R³→R³，使得h(K₁)=K₂，則稱它們是等價的；如果存在恆同映射的同倫H：R³×[0,1]→R³，使得對每個t∈[0，1]，h_t=H(·，t)：R³→R³是保持定向的同胚，且h₁(K₁)=K₂，則稱K₁和K₂有相同的痕型。直觀上，K₁和K₂有相同的痕型是指K₁可連續地形變成K₂，且在形變過程中不自身相交。痕型相同的扭結必定等價。扭結理論的中心問題是按等價或痕型將扭結分類，並求出相應的不變數。設K是扭結，R³-K的基本群稱為扭結群，等價(同痕型)的扭結有同構的扭結群。對於多邊形扭結，利用馮坎本定理可求得其扭結群。圓周的扭結群同構於Z，三葉扭結的扭結群不與Z同構，因此圓周與三葉扭結不等價。

基本介紹

• 中文名：扭結群
• 外文名：knot group
• 所屬學科：數學
• 相關概念：扭結，馮坎本定理等

基本介紹

扭結群(knot group)是研究扭結的一個工具。若K為扭結，則的基本群稱為K的扭結群。取扭結K的一個正則投影P，使得投影平面為平面，然後對於中的每個二重點P，設它對應於K中的兩個點，這時，若的z坐標大於的z坐標，則稱K中附近線段的投影為中的上行段，附近線段的投影為中的下行段(如圖)。若給定K的一個指向，選取的基點為z坐標充分大的點q，對於每條上行段，引入一條以q為基點的環道，它對於K的指定的取向右旋的繞上行段一周，這些環道在中所決定的元素記為(表示R的上半空間)，然後對於每個交點，如圖所示，引入關係，則K的扭結群

因為上述n個關係中的任何一個可用其餘個表出，所以G還可表示為

它稱為G的維丁格爾表示。若G的換位子群是，則是無限循環群Z，扭結群是扭結型的不變數，但具有同構扭結群的扭結不一定等價，因此尋找儘可能精細的扭結不變數是扭結研究中的一個重要問題。

相關概念介紹

扭結(knot)亦稱環繞，是幾何拓撲學的一個重要概念。設K是拓撲空間X的一個子集，若K同胚於p維球面，則稱K為X中的一個扭結。一般地，X的一個子集K，若K同胚於r個球面的無交並，則稱為X中的一個環繞。所以扭結是環繞的特殊情形，對於X中的兩個扭結或環繞，若存在同胚，使得，即，則稱為等價的。扭結或環繞的等價類稱為扭結型或環繞型。實際上，除了有特別的說明以外，在這些問題中，一般總假定X為n維歐氏空間，n維球面或n維單形，在這裡限制X為3維歐氏空間，K為，即此處所指的扭結是中的一條簡單閉曲線。對於的一個自同胚h，若存在倫移，使得每個為同胚，為恆等映射，，則稱為合痕於恆等映射。對於中的扭結若存在的合痕，使得，則稱有相同的合痕型。合痕與等價是兩個不同的概念。例如，圖中所列的兩個三瓣扭結是等價的，但不具有相同的合痕型，因為關於其中某張平面的反射，可把變為它的鏡面像，但不能通過連續的變形把變為。到自身的同胚可以惟一地擴張為到自身的同胚，因此在討論扭結問題時，也可用代替，於是可知任意同胚合痕於恆等同胚若且唯若h為保向同胚。中平面上的單位圓周所表示的扭結及其扭結型稱為平凡的或不打結的，否則稱為打結的。在扭結的等價之下，可用中由有限條邊構成的多邊形來表示的扭結稱為溫良的，否則稱為野生的。對於可用多邊形表示的溫良扭結K，可取中的平面以及到π的投影p，使得：

圖1

1.的多重點只限於二重點，並且只有有限個。

2.K的頂點不映為的二重點，這樣的一個投影稱為K的正則投影。

若兩個紐結處於互不相繞的位置，則可以通過兩段小弧把它們互相連結起來，如同上圖右，這樣形成的一個新扭結稱為扭結的結合，結合的操作稱為扭結的乘法。於是全體扭結型在這種乘法之下成為一個交換半群。一個扭結型稱為素的，若不能再用非平凡扭結將它分解。所以在此扭結型半群之中，每一個扭結型能惟一地表示成有限個素扭結型的乘積。

在20世紀30年代之前，扭結理論主要以美國的亞歷山大(Alexander，J.W.)以及德國的賴德邁斯特(Reidemeister，K.W.F.)、賽費特(Seifert，H.K.I.)為代表發展起來的，40年代幾乎沒有太多進展.以後，美國的福克斯(Fox，R.H.)在這方面的貢獻較多。進入20世紀80年代以來，一些著名數學家如韋吞(Witten，E.)等投入這方面研究，他把扭結理論與量子場聯繫起來，得到了瓊斯-韋吞(Jones-Witten)的不變數。高登(Gordon，C.M.)與呂克(Luecker，J.)證明了中的一個扭結K由它的補決定。里可里西(Lickorish)利用考夫曼(Kauffmen)括弧多項式構造了3維流形不變數，並描述此不變數與的關係。