微分拓撲法

微分拓撲法是研究微分流形和可微映射的一種拓撲學方法。美國數學家惠特尼(H.Whitney)是微分拓撲法的奠基人，在1936年他就得到了浸入定理。凱恩斯和懷特海也進行了有關的研究，20世紀50年代中期以後，由於米爾諾、斯麥爾、齊曼等人的重要研究成果，使微分拓撲法得到極大重視。它研究的主要課題有微分同胚、微分浸入、微分嵌入、協邊理論等。米爾諾證明了在七維球面上有多個彼此不微分同胚的結構，現在已經算出與七維球面同胚的微分流形，按照微分同胚分類一共有28類。

1960年斯麥爾、齊曼解決了對n≥5的廣義龐加萊猜想，即n維同倫球面與n維球同胚，1981年弗里得曼證明了四維的情形，而“單連通的三維閉流形與三維球面同胚”這一著名的龐加萊猜想至今還未解決。微分拓撲法雖是不同於代數拓撲法的一種獨立的數學方法，但它與代數拓撲法的關係極為密切，解決微分拓撲問題的許多基本工具，例如同調群、同倫群、拓撲K理論以及多種示性類等代數不變數都是從代數拓撲中借用過來的。基於莫爾斯函式的臨界點理論的流形剜補術，則是首先對微分流形發展起來，然後被推廣到拓撲流形的。