初等矩陣

初等矩陣是指由單位矩陣經過一次三種矩陣初等變換得到的矩陣。初等矩陣的模樣可以寫一個3階或者4階的單位矩陣。

首先：初等矩陣都可逆，其次，初等矩陣的逆矩陣其實是一個同類型的初等矩陣（可看作逆變換）。例如，交換矩陣中某兩行（列）的位置；用一個非零常數k乘以矩陣的某一行（列）；將矩陣的某一行（列）乘以常數k後加到另一行（列）上去。若某初等矩陣左乘矩陣A，則初等矩陣會將原先施加到單位矩陣E上的變換，按照同種形式施加到矩陣A之上。或者說，想對矩陣A做變換，但是不是直接對矩陣A去做處理，而是通過一種間接方式去實現。

基本介紹

• 中文名：初等矩陣
• 外文名：Elementary matrix
• 所屬學科：線性代數
• 相關名詞：單位矩陣
• 套用領域：數學
• 別稱：基本矩陣

概念

初等變換有三種

（1）交換矩陣中某兩行（列）的位置；

（2）用一個非零常數k乘以矩陣的某一行（列）；

（3）將矩陣的某一行（列）乘以常數k後加到另一行（列）上去。

三類初等矩陣都是可逆矩陣，即非奇異陣。

三類初等矩陣行列式的值是：

（1）：-1

（2）：k

（3）：1

性質

1、單位矩陣第i,j兩行互換得到的方陣為 ，將矩陣 的第i,j兩行互換所得矩陣 ，即有 = * 。

說明：任意矩陣 的交換i,j行（列），取決於 是左乘 ，還是右乘 ，即： * 是交換行i,j變換， * 是交換列i,j變換。

2、單位矩陣第i行乘以常數k得到初等方陣 ，將矩陣 的第i行乘以k得到矩陣 ，即有 = * 。

說明：任意矩陣 的行（列）乘以常數k，取決於 是左乘 ，還是右乘 ，即 ： * 是矩陣 行乘以常數k變換， * 是矩陣 列乘以常數k變換。

3、將單位矩陣的第i行的k倍加到第j行得到初等方陣 ，矩陣 的第i行的k倍加到第j行得到矩陣 ，即有 = * ；將單位矩陣的第j列的k倍加到第i列得到初等方陣 ，矩陣 的第j列的k倍加到第i列得到矩陣 ，即有 = * 。

說明：任意矩陣 與初等矩陣相乘，表示對A進行初等變換，但對A進行的是行初等變換還是列變換，取決於初等矩陣 是左乘 ，還是右乘 ，即： * 是行初等變換，此時 的變換表示將 的第i行的k倍加到第j行（順序從前向後）； * 是列初等變換，此時 的變換表示將 的第j列的k倍加到第i列（順序從後向前）。

套用

（1）在解線性方程組中的套用

初等行變換不影響線性方程組的解，也可用於高斯消元法，用於逐漸將係數矩陣化為標準形。初等行變換不改變矩陣的核（故不改變解集），但改變了矩陣的像。反過來，初等列變換沒有改變像卻改變了核。

（2）用於求解一個矩陣的逆矩陣

有的時候，當矩陣的階數比較高的時候，使用其行列式的值和伴隨矩陣求解其逆矩陣會產生較大的計算量。這時，通常使用將原矩陣和相同行數（也等於列數）的單位矩陣並排，再使用初等變換的方法將這個並排矩陣的左邊化為單位矩陣，這時，右邊的矩陣即為原矩陣的逆矩陣。