賦范向量空間

一個把向量映射到非負實數的函式如果滿足簡介中描述的性質，就叫做一個半範數；如果只有零向量的函式值是零，那么叫做範數。擁有一個範數的向量空間叫做賦范向量空間，擁有半範數的叫做半賦范向量空間。

基本介紹

• 中文名：賦范向量空間
• 名詞類型：數學專業術語
• 含義：具有“長度”概念的向量空間
• 長度概念：大於或等於零

概念

在數學中，賦范向量空間是具有“長度”概念的向量空間。是通常的歐幾里德空間 Rn 的推廣。Rn中的長度被更抽象的範數替代。“長度”概念的特徵是：

零向量的長度是零，並且任意向量的長度是非負實數。

一個向量 v 乘以一個標量 a 時，長度應變為原向量 v 的 |a|（ a 的絕對值）倍。

三角不等式成立。也就是說，對於兩個向量 v 和 u ，它們的長度和（“三角形”的兩邊）大於 v+u （第三邊）的長度。

定義

一個半賦范矢量空間（E,p）由一個矢量空間 E 以及一個 E 上的半範數p 構成。

一個賦范矢量空間（E,||·||）由一個矢量空間 E 以及一個 E 上的範數 ||·|| 構成。

相較關係

線性變換和對偶空間

在賦范矢量空間之間的線性變換中，最重要的是連續線性變換，賦范矢量空間和連續線性變換一起構成一個範疇。

範數自身，作為函式，是連續的。任意兩個有限維的賦范矢量空間之間的線性變換也都是連續的。

兩個賦范矢量空間之間的一個等距變換f 是指使得對任意矢量 v 都有||f(v)|| = ||v|| 的線性變換。保距變換總是連續的單射。如果兩個賦范矢量空間之間的一個等距變換是滿射，那么稱其為一個等距同構。兩個保距同構的賦范矢量空間在拓撲的意義上可以說是相等的（擁有相同的性質；在一者中成立的命題，在另一者中也成立）。

拓撲結構

E 上的拓撲結構，稱為範數 ||·||誘導的自然拓撲。這也是使得函式 ||·|| 連續的最弱的拓撲。此外，這個自然拓撲和矢量空間的線性結構相容，因為：矢量加法：+ 在此拓撲下是連續的，這可以由範數的三角不等式性質得出。矢量的數量乘法·在此拓撲下是連續的，這也可由範數的線性性和三角不等式性質得出。