貝爾綱定理

簡介

貝爾綱定理斷言：完備的度量空間必是第二綱集。貝爾綱定理是區間套定理的發展與提高，在證明許多存在定理時是很有用的。

這個定理有兩種形式，每一個都給出了拓撲空間是貝爾空間的充分條件。

該定理由勒內-路易·貝爾在他1899年的博士論文中證明。

一個貝爾空間是一個拓撲空間，具有以下性質：對於任意可數個開稠密集Un，它們的交集∩ Un都是稠密的。

（BCT1）每一個完備度量空間都是貝爾空間。更一般地，每一個同胚於某個完備偽度量空間的開子集的拓撲空間都是貝爾空間。因此每一個完備可度量化的拓撲空間都是貝爾空間。（BCT2）每一個局部緊豪斯多夫空間都是貝爾空間。其證明類似於前一個陳述；有限交集性質取得了完備性扮演的角色。

注意從以上任何一個命題都不能推出另一個，因為存在一個不是局部緊的完備度量空間（帶有定義如下的度量的無理數），也存在一個不可度量化的局部緊豪斯多夫空間（不可數福特空間）。參見以下文獻中的Steen and Seebach。

（BCT3）一個非空的完備度量空間不是可數個無處稠密集（也就是閉包具有稠密補集的集合）的並集。

這個表述是BCT1的一個結果，有時更加有用。另外，如果一個非空的完備度量空間是可數個閉集的並集，那么其中一個閉集具有非空的內部。

BCT1和BCT2的證明需要選擇公理的某種形式；實際上，BCT1與選擇公理的一個較弱的版本——相依選擇公理等價。

BCT1可以用來證明開映射定理、閉圖像定理和一致有界原理。

BCT1也表明每一個沒有孤立點的完備度量空間都是不可數的。（如果X是一個可數的完備度量空間且沒有孤立點，那么在X中每一個單元素集合都是無處稠密的，因此X在它本身內是第一綱）。特別地，這證明了所有實數所組成的集合是不可數的。

BCT1表明以下每一個都是貝爾空間：

實數空間R；無理數，其度量定義為d(x, y) = 1 / (n + 1)，其中n是使x和y的連分數展開式不同的第一個指標（這是一個完備度量空間）；康托爾集。

根據BCT2，每一個流形都是貝爾空間，因為它是局部緊空間，也是豪斯多夫空間。這甚至對非仿緊（因此不可度量化）的流形如長直線也是成立的。