開映射

泛函分析中,開映射是一類特殊的映射。如果巴拿赫空間之間的連續函式是滿射的,那么它就是一個開映射(open mapping)。

如果X和Y是巴拿赫空間,A : X → Y是一個滿射的連續線性運算元,那么A就是一個開映射(也就是說,如果U是X內的開集,那么A(U)在Y內是開放的)。

該定理的證明用到了貝爾綱定理,X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間,那么定理的結論就不一定成立。然而,如果X和Y是弗雷歇空間,那么定理的結論仍然成立。

基本介紹

  • 中文名:開映射
  • 外文名:open mapping
  • 學科:數學
  • 適用範圍:巴拿赫空間
  • 條件:巴拿赫空間連續函式是滿射的
  • 相關名詞:貝爾綱定理
簡介,性質,推論,開映射定理,概述,證明,開映射定理的推廣,

簡介

泛函分析中,開映射是一類特殊的映射。如果巴拿赫空間之間的連續函式是滿射的,那么它就是一個開映射(open mapping)。
如果X和Y是巴拿赫空間,A: X → Y是一個滿射的連續線性運算元,那么A就是一個開映射(也就是說,如果U是X內的開集,那么A(U)在Y內是開放的)。
該定理的證明用到了貝爾綱定理,X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間,那么定理的結論就不一定成立。然而,如果X和Y是弗雷歇空間,那么定理的結論仍然成立。

性質

(1)從離散空間到離散空間的任何映射都是開映射;
證明:設
為離散空間 X 到離散空間 Y 的映射, 對 X 中任一開集 U, 因為Y是離散空間, 所以
是 Y 中的一個開集,即 f 是一個開映射。
(2)從平庸空間到離散空間的任何映射都是開映射;
證明:設 f: X→Y為平庸空間X到離散空間Y的映射, 因為
包含於Y, 而Y為離散空間, 所以
為 Y 中的開集,即f是一個開映射。
(3)設 X 和 Y 是兩個拓撲空間,映射
胚,則映射
為一個開映射。
證明:設U是X的任意開集,由於映射
為同胚, 則
也是同胚, 因而
是連續映射。對X的任意開集U,有
為 Y 中的開集,從而
為一個開映射。
(4)設X和Y是兩個拓撲空間,映射
為一一映射,若 f 為連續的開映射,則
為同胚。
證明:欲證明
為同胚, 由已知條件, 只需證明
連續即可。對X中的任意開集U有
。由於f為開映射,故
為 Y 中的開集,從而說明
連續。
這樣即有如下結論:X和Y是兩個拓撲空間,為同胚的充要條件是f為一一的連續開映射。
(5)設 X,Y 和 Z 是拓撲空間,映射
都為開映射,則
也為開映射。
證明:設W為Z中的任意開集, 由
為開映射有
為Y中的開集, 再由
為開映射得
為 Z 中的開集. 而
, 所以
為 Z 中的開集, 這就證明了
為開
映射。
(6)設 X 和 Y 是兩個拓撲空間,
是一個滿的連續開映射,則Y的拓撲是相對於滿射f而言
的商拓撲。

推論

(1)如果
是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元,那么反函式
也是連續的。
(2)如果
是巴拿赫空間X和Y之間的線性運算元,且如果對於X內的每一個序列
,只要
就有y = 0,那么A就是連續的(閉圖像定理)。

開映射定理

概述

開映射定理是指如果巴拿赫空間之間的連續函式是滿射的,那么它就是一個開映射。

證明

我們需要證明,如果
是巴拿赫空間之間的連續線性滿射,那么A就是一個開映射。為此,只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
設U,V分別為X和Y內的單位球。那么X是單位球的倍數kU的序列的並集,k∈ N,且由於A是滿射,
根據貝爾綱定理,巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集,故存在k > 0,使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此,存在一個開球B(c, r),其中心為c,半徑r > 0,包含在A(kU)的閉包內。如果v∈ V,那么c + rv和c位於B(c, r)內,因此是A(kU)的極限點,根據加法的連續性,它們的差rv是
包含於
的極限點。根據A的線性,這意味著任何都位於A(δ1U)的閉包內,其中δ =r/ (2k)。於是可以推出,對於任何
和任何ε > 0,都存在某個
,滿足:
並且
固定y\in V。根據上式,存在某個x_1,滿足| |x1| |且||y − A x1||<δ / 2。定義序列
如下。假設:
並且
我們可以選擇xn+ 1,使得:
因此xn+ 1滿足。設
從第一個不等式可知,{sn}是一個柯西序列,且由於X是完備的,sn收斂於某個
。序列
趨於y,因此根據A的連續性,有Ax=y。而且:
這表明每一個
都屬於A(2U),或等價地,X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2)V。因此,A(U)是Y內0的鄰域,定理得證。

開映射定理的推廣

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完備性則是:當X和Y是F空間時,定理仍然成立。更進一步,這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合:
設X為F空間,Y為拓撲向量空間。如果
是一個連續線性運算元,那么要么A(X)是Y內的貧集,要么A(X)= Y。在後一個情況中,A是開映射,Y也是F空間。
更進一步,在這個情況中,如果N是A的核,那么A有一個標準分解,形如下式:
其中X/N是X對閉集N的商空間(也是F空間)。商映射X→X/N是開放的,且映射α是拓撲向量空間的同構。

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