基本介紹
- 中文名：開映射
- 外文名：open mapping
- 學科：數學
- 適用範圍：巴拿赫空間
- 條件：巴拿赫空間連續函式是滿射的
- 相關名詞：貝爾綱定理
簡介,性質,推論,開映射定理,概述,證明,開映射定理的推廣,
簡介
如果X和Y是巴拿赫空間，A: X → Y是一個滿射的連續線性運算元，那么A就是一個開映射（也就是說，如果U是X內的開集，那么A(U)在Y內是開放的）。
性質
（1）從離散空間到離散空間的任何映射都是開映射；
證明：設
為離散空間 X 到離散空間 Y 的映射， 對 X 中任一開集 U， 因為Y是離散空間， 所以
是 Y 中的一個開集，即 f 是一個開映射。
（2）從平庸空間到離散空間的任何映射都是開映射；
證明：設 f: X→Y為平庸空間X到離散空間Y的映射， 因為
包含於Y， 而Y為離散空間， 所以
和
為 Y 中的開集，即f是一個開映射。
證明：設U是X的任意開集，由於映射 為同胚， 則
也是同胚， 因而 是連續映射。對X的任意開集U，有
為 Y 中的開集，從而 為一個開映射。
（4）設X和Y是兩個拓撲空間，映射為一一映射，若 f 為連續的開映射，則為同胚。
證明：欲證明 為同胚， 由已知條件， 只需證明連續即可。對X中的任意開集U有。由於f為開映射，故為 Y 中的開集，從而說明連續。
（5）設 X，Y 和 Z 是拓撲空間，映射和
都為開映射，則
也為開映射。
證明：設W為Z中的任意開集， 由為開映射有為Y中的開集， 再由為開映射得
為 Z 中的開集． 而
， 所以
為 Z 中的開集， 這就證明了為開
映射。
映射。
（6）設 X 和 Y 是兩個拓撲空間，是一個滿的連續開映射，則Y的拓撲是相對於滿射f而言
的商拓撲。
的商拓撲。
推論
（1）如果
是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元，那么反函式
也是連續的。
開映射定理
概述
開映射定理是指如果巴拿赫空間之間的連續函式是滿射的，那么它就是一個開映射。
證明
我們需要證明，如果是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那么A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
設U，V分別為X和Y內的單位球。那么X是單位球的倍數kU的序列的並集，k∈ N，且由於A是滿射，
根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v∈ V，那么c + rv和c位於B(c, r)內，因此是A(kU)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是
包含於
的極限點。根據A的線性，這意味著任何都位於A(δ1U)的閉包內，其中δ =r/ (2k)。於是可以推出，對於任何
和任何ε > 0，都存在某個
，滿足：
並且
固定y\in V。根據上式，存在某個x_1，滿足| |x1| |且||y − A x1||<δ / 2。定義序列
如下。假設：
並且
我們可以選擇xn+ 1，使得：
且
因此xn+ 1滿足。設
從第一個不等式可知，{sn}是一個柯西序列，且由於X是完備的，sn收斂於某個。序列
趨於y，因此根據A的連續性，有Ax=y。而且：
這表明每一個
都屬於A(2U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2)V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。
開映射定理的推廣
X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合：
設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果是一個連續線性運算元，那么要么A(X)是Y內的貧集，要么A(X)= Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。
更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那么A有一個標準分解，形如下式：
其中X/N是X對閉集N的商空間（也是F空間）。商映射X→X/N是開放的，且映射α是拓撲向量空間的同構。
