映射定理

映射定理

映射定理是多仿射映射下多項式族的值集性質的重要定理。該定理是研究多仿射映射下多項式族的穩定性的重要工具之一。在泛函分析中,映射定理是一個基本的結果,它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性運算元是滿射的,那么它就是一個開映射。

基本介紹

  • 中文名:映射定理
  • 外文名:mapping theorem
  • 表達式:A : X → Y
  • 類別:數學
  • 提出者:Rudin
  • 提出時間:1973年
基本概念,定理說明,結果,證明,推廣,調和映射定理,

基本概念

映射定理是多仿射映射下多項式族的值集性質的重要定理。該定理是研究多仿射映射下多項式族的穩定性的重要工具之一。
在泛函分析中,映射定理是一個基本的結果,它說明如果巴拿赫空間之間的連續線性運算元是滿射的,那么它就是一個開映射。

定理說明

精確地(Rudin 1973, 定理2.11):如果XY是巴拿赫空間,A : XY是一個滿射的連續線性運算元,那么A就是一個開映射(也就是說,如果UX內的開集,那么A(U)在Y內是開放的)。 該定理的證明用到了貝爾綱定理XY的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設XY賦范空間,那么定理的結論就不一定成立。然而,如果XY弗雷歇空間,那么定理的結論仍然成立。

結果

開映射定理有一些重要的結果:
如果A : XY是巴拿赫空間XY之間的雙射連續線性運算元,那么逆運算元A : YX也是連續的。(Rudin 1973, 推論2.12) 如果A : XY是巴拿赫空間XY之間的線性運算元,且如果對於X內的每一個序列(xn),只要xn → 0且Axny就有y = 0,那么A就是連續的(閉圖像定理)。(Rudin 1973, 定理2.15)

證明

我們需要證明,如果A : XY是巴拿赫空間之間的連續線性滿射,那么A就是一個開映射。為此,只需證明AX內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
UV分別為XY內的單位球。那么X是單位球的倍數kU的序列的交集,kN,且由於A是滿射,
根據貝爾綱定理,巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集,故存在k > 0,使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此,存在一個開球B(c, r),其中心為c,半徑r > 0,包含在A(kU)的閉包內。如果vV,那么c + rvc位於B(c, r)內,因此是A(kU)的極限點,根據加法的連續性,它們的差rvA(kU) − A(kU) ⊂ A(2kU)的極限點。根據A的線性,這意味著任何vV都位於A(δ  U)的閉包內,其中δ = r / (2k)。於是可以推出,對於任何yY和任何ε > 0,都存在某個xX,滿足:
<IMG class=tex alt="\ ||x||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y - Ax||
固定yδV。根據(1),存在某個x 1,滿足||x 1|| < 1且||yAx 1|| < δ / 2。定義序列{xn}如下。假設:
<IMG class=tex alt="\ ||x_{n}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)||
根據(1),我們可以選擇xn +1,使得:
<IMG class=tex alt="\ ||x_{n+1}||且<IMG class=tex alt=" \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})||
因此xn +1滿足(2)。設
從(2)的第一個不等式可知,{sn}是一個柯西序列,且由於X是完備的,sn收斂於某個xX。根據(2),序列Asn趨於y,因此根據A的連續性,有Ax = y。而且:
<IMG class=tex alt="||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n||
這表明每一個yδV都屬於A(2 U),或等價地,X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此,A(U)是Y內0的鄰域,定理得證。

推廣

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完備性則是:當XY是F空間時,定理仍然成立。更進一步,這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合(Rudin, 定理2.11):
X為F空間,Y拓撲向量空間。如果A : XY是一個連續線性運算元,那么要么A(X)是Y內的貧集,要么A(X) = Y。在後一個情況中,A是開映射,Y也是F空間。 更進一步,在這個情況中,如果NA,那么A有一個標準分解。

調和映射定理

黎曼流形之間的一類十分重要的可微映射。設M和N為黎曼流形,f:M→N為光滑映射,若f的張力場τ(f)恆為零,則稱f為調和映射.由第一變分公式可知:調和映射是能量泛函的臨界點;反之,若f是能量泛函在每一個緊緻區域DM上關於保持邊界D不動的變分的臨界點,則f必是調和映射.另一方面,若將df看做M上取值於誘導叢fTN的1形式,這裡TN是N的切叢,則可以證明:當f為調和映射時,df為調和1形式;且當M為緊緻流形時,其逆亦真.因此,調和映射與非線性調和1形式理論有密切關係.調和映射有許多重要的特例,因而具有廣闊的背景.例如:
1.當N=R時,調和映射就是M上的調和函式.
2.當dim M=1時,調和映射就是N中的測地線.
3.當f為等距浸入時,f是調和映射的充分必要條件為f是極小浸入.
4.克勒流形間的全純映射必為調和映射.
5.具有雙不變黎曼度量的李群間的連續同態必為調和映射.

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