本質映射

如果拓撲空間X到拓撲空間Y的映射同倫於一個其值域僅含單個點的映射，則稱該映射為非本質映射(inessential mapping)。不是非本質的映射稱為本質映射(essential mapping)。映入一個圓周(或n維球面)而其值域不是整個圓周(或球面)的映射是非本質的。從一個區間(或n維胞腔)到一個圓周(或n維球面)中的映射是非本質的。從一個圓周到一個圓周的映射為本質的，其必要充分條件是該圓周的象關於它的中心的旋轉數不等於零。

基本介紹

• 中文名：本質映射
• 外文名：essential mapping
• 所屬學科：數學
• 相關概念：同論，維數論等

定義

設為緊空間X到m維球面 的映射，關於與同倫的任意映射 ，有 成立時， 稱為本質的(essential)映射，否則稱為非本質的(inessential)映射。非本質映射與“同倫於常值映射”二者是等價的。

單位圓中的本質映射

定義設E是距離空間，我們稱E到單位圓的連續映射是非本質的，如果存在E到R的連續映射使得對每個都有。E到U的一連續映射稱為本質的，如果它不是非本質的。（以下所有結論的證明見參考資料）。

1. 若都是E到U的非本質映射，則與也是非本質的：若是本質的而是非本質的，則與都是本質的。

2. 若是E到U的非本質映射，是距離空間F到E的連續映射，則是非本質的。

這些性質都是定義的直接的結果。

3. 距離空間E到U的任意連續映射，只要，就是非本質的。

4. 若是距離空間E到U的兩個連續映射並使得對任意都有，又若是本質的(相應地，非本質的)，則也是本質的(相應地，非本質的)。

因為，是E到U的連續映射且不取-1，於是據3它是非本質的。

5. 設E是一緊距離空間，，是到U的連續映射，若映射是本質的(相應地，非本質的)，則映射也是本質的(相應地，非本質的)。

6. (中)一閉球到U的任何連續映射都是非本質的。

7. 設A，B是距離空間E的兩個閉子集，並且與是連通的，設是E到U的連續映射；若到A與B上的限制都是非本質的，則也是非本質的。

8. 要U到它自身的連續映射為本質的，其充要條件是：對於閉路有。

9. U到它自身的恆等映射是本質的。

本質映射與本質映射定理

維數論中主要定理之一是所謂本質映射定理(theorem on essential mappings)，它是這一理論重要部分的基礎。設是從(正規)空間X到以 為邊界的n維球上的連續映射，設 是在這個映射之下球面 的原象，。映射稱為本質的(essatial)，如果在所有點上與一致的每個連續映射都是到整個球上的映射。著名的Aleksandrov theorem定理說，正規空間X有維數dimX≥n，若且唯若X可被本質地映射到一個n維球上。由這個定理可以得出和定理(對於緊統，在維數論發展初期已由Menger等給出證明)：如果維數dimX=n的(正規)空間X是有限或可數多個閉子集的並，則這些中至少有一個滿足。

關於本質映射的定理是所謂的同調維數論(homologicaldimension theory)的基礎，它使我們能套用代數拓撲的方法在更為一般的假設下研究維數。空間的同調維數(homological dimension of a space)的概念與閉鏈和同調的概念有關，因此假定，與拓撲空間X同時還給定一個交換群，稱之為係數群。於是可以談論具有這個係數群的緊統X的閉鏈，它們的支撐，特別是談論X中關於係數域同調於零的閉鏈。