緊化

在物理學中，緊緻(compactification)，又稱緊緻化，指改變時空中某些維度的拓撲結構，使其從展開的無限大尺度，變成有限大的周期性結構。緊化在弦理論中用於解決多維空間的額外空間問題。

基本介紹

• 中文名：緊化
• 外文名：compactification
• 又稱：緊緻化
• 學科：物理學
• 套用：弦理論

歷史

在弦理論中，將超弦理論放置在10 維中就會沒有反常，沒有反常是個非常重要同時令人滿懷憧憬的發現維數確定以後的問題是額外維的問題，即這10 維中超出人類所能理解的那6維如何解決。

20 世紀20 年代最早曾經被卡魯查( Th.Kaluza)和克萊因( O.Klein)提出過， 就是將其看做是捲起來了， 卷到了極小不能被看到的尺度。這種將維度卷到了非常小以至於很難被看到的程度的思想被稱為緊化。

簡介

場論中的緊緻化

卡魯扎-克萊因理論是一個緊化的例子。通過把額外的第五維捲曲成一個半徑非常小的圓，引力和電磁力得以被統一理解。在超引力的領域中，11維超引力中捲曲的7維流形的對稱性，用來在引力框架內包容描述強力、弱力和電磁力的標準模型。

弦論中的緊緻化

弦論中的緊緻化，是卡魯扎-克萊因理論的一種擴充和套用。考慮費米子自由度後，超弦理論只有在10維才自洽。為了聯繫10維的超弦理論和4維的現實世界，我們通常把多餘的6維捲曲起來。為了保證4維有效理論至少具有 超對稱，6維流形的完整群應為 而非最廣泛的情形 ，因此6維流形應是卡拉比–丘流形，包含軌形、不可定向形或D膜的緊緻化亦被廣泛討論。

不同的額外維流形的模對應於4維有效場論中不同的真空。為了固定這些模，與D膜的耦合規範場被用來確定低維有效理論的勢。這即為通常所說的通量緊化。由於卡拉比–丘流形的貝蒂數 和 通常很大，其通量緊緻化的合理真空數量驚人；這一性質被用來解釋理論計算的宇宙學常數和觀測所得的暗能量不符合的疑難。

擴展：緊化（數學）

在數學中，緊化是將一個拓撲空間擴大為緊的過程或結果。緊化的方法有多種，但每一種方法都是以某種方式添加“無窮遠點”控制“跑向無窮遠”的點或阻止這樣的“逃逸”。

拓撲空間 作為稠密子集嵌入一個緊空間稱為 的一個緊化。將拓撲空間嵌入緊空間中經常有用，因為緊空間有一些特殊性質。嵌入緊豪斯多夫空間可能特別讓人感興趣。因為每個緊豪斯多夫空間是一個吉洪諾夫空間，而吉洪諾夫空間的每個子空間是吉洪諾夫的，我們得出每個有豪斯多夫緊化的空間必須是吉洪諾夫空間。事實上，其逆亦真；吉洪諾夫空間是存在豪斯多夫緊化的充分必要條件。

很多有趣的非緊空間確實有特別類型的緊化，這個事實使緊化成為拓撲學中的常用技巧。

亞歷山德羅夫單點緊化

對一個拓撲空間，它的（亞歷山德羅夫）單點緊化是通過添加額外一點 （通常叫做無窮遠點）得到的，定義新空間的開集是中的開集以及具有形式的集合，這裡是的一個子集使得閉且緊。的單點緊化是豪斯多夫的若且唯若是豪斯多夫的且局部緊。

斯通-切赫緊化

其次，豪斯多夫緊化，即緊化中緊空間是豪斯多夫。一個拓撲空間有豪斯多夫緊化若且唯若它是吉洪諾夫。在這種情形，存在惟一（差一個同胚）“最一般的”豪斯多夫緊化，的斯通-切赫緊化，記作。空間由泛性質刻畫，任何從到一個緊豪斯多夫空間的連續函式可以惟一地延拓為從到的連續函式。更確切地說， 是一個包含的緊豪斯多夫空間使得上由 誘導的拓撲與上本來的拓撲相同，且對任何連續映射，這裡是一個緊豪斯多夫空間，存在惟一連續映射使得限制在上等同於。

斯通-切赫緊化可具體地構造如下：設是從到閉區間的連續函式集合。則中每一點可與上一個取值函式等同。這樣可與的一個子集等價，這裡是從到的所有函式集合。由吉洪諾夫定理後者是緊的，的閉包作為該空間子集也是緊的。這就是斯通-切赫緊化。

相關術語

• 弦理論
  
• 超弦理論
  
• 卡拉比–丘流形
  
• 卡魯扎-克萊因理論